Chiến Lược Giải Quyết Bài Toán Hệ Phương Trình Dạng {ax + by = c, a'x + b'y = c'} – Hướng Dẫn Chi Tiết Cho Học Sinh Lớp 9

1. Giới thiệu về hệ phương trình dạng {ax + by = c, a'x + b'y = c'}

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn dạng: { \begin{cases} ax + by = c \\ a'x + b'y = c' \end{cases} } là một dạng toán cơ bản và quan trọng trong chương trình Toán 9. Bài toán này thường xuất hiện trong hầu hết các đề kiểm tra, thi học kỳ hoặc thi vào lớp 10. Việc thành thạo cách giải hệ phương trình sẽ giúp học sinh nắm chắc kiến thức đại số cơ sở, nâng cao kỹ năng tư duy logic cũng như ứng dụng trong các bài toán thực tiễn.

2. Đặc điểm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

• Bao gồm hai phương trình bậc nhất với hai ẩn số $x$và $y$.
• Hệ có nghiệm duy nhất nếu hai phương trình không tỉ lệ với nhau.
• Có thể vô nghiệm hoặc có vô số nghiệm nếu các hệ số thoã mãn điều kiện đặc biệt.
• Phương pháp giải phổ biến: phương pháp thế, phương pháp cộng đại số (hay phương pháp khử).

3. Chiến lược tổng thể để giải hệ phương trình dạng này

1. Phân tích hệ số và dạng hệ, lựa chọn phương pháp giải thích hợp (thế hay cộng đại số).
2. Chuyển đổi hoặc rút gọn nếu cần thiết để việc tính toán dễ dàng hơn.
3. Thực hiện các bước giải chi tiết (theo từng phương pháp).
4. Kiểm tra nghiệm tìm được bằng cách thay lại vào hệ phương trình.

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Giả sử ta có hệ phương trình:

A. Phương pháp thế:

1. Chọn một phương trình dễ rút một ẩn. Ở đây, ta chọn phương trình$(2)$:$3x - y = 2 \Rightarrow y = 3x - 2$.
2. Thế $y$vào phương trình$(1)$:
   $2x + 3(3x - 2) = 7 \Rightarrow 2x + 9x - 6 = 7 \Rightarrow 11x = 13 \Rightarrow x = \frac{13}{11}$.
3. Tìm$y$:$y = 3x - 2 = 3 \times \frac{13}{11} - 2 = \frac{39}{11} - 2 = \frac{39-22}{11} = \frac{17}{11}$.
4. Vậy nghiệm của hệ là:$x = \frac{13}{11}, ~ y = \frac{17}{11}$.

B. Phương pháp cộng đại số (phương pháp khử):

1. Nhân hai phương trình sao cho hệ số của một ẩn đối nhau, để cộng loại bỏ một ẩn.
2. Ở đây: để khử $y$, nhân phương trình$(1)$với$1$, phương trình$(2)$với$3$:
   
   
   $$\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 9x - 3y = 6 \\\end{cases}$$
3. Cộng hai phương trình:
   $(2x + 3y) + (9x - 3y) = 7 + 6 \Rightarrow 11x = 13 \Rightarrow x = \frac{13}{11}$
4. Thay$x$vào phương trình$(1)$:$2x + 3y = 7 \Rightarrow 2 \times \frac{13}{11} + 3y = 7$.
   
   $\frac{26}{11} + 3y = 7 \Rightarrow 3y = 7 - \frac{26}{11} = \frac{77-26}{11} = \frac{51}{11}$.
   
   $y = \frac{51}{11} \div 3 = \frac{17}{11}$.
5. Nghiệm:$x = \frac{13}{11}, ~ y = \frac{17}{11}$.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Cách nhận biết hệ vô nghiệm:$\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} \ne \frac{c}{c'}$.
• Cách nhận biết hệ có vô số nghiệm:$\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'}$.
• Cách nhận biết hệ có nghiệm duy nhất:$\frac{a}{a'} \ne \frac{b}{b'}$.
• Áp dụng quy tắc Cramer với hệ số định thức$D = ab' - a'b$. Nếu$D \ne 0$, hệ có nghiệm duy nhất:
• $x = \frac{cb' - c'b}{ab' - a'b}, ~ y = \frac{a'c - ac'}{ab' - a'b}$

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

• Hệ phương trình chứa tham số: Giải theo tham số, hoặc xác định điều kiện để hệ có nghiệm.
• Hệ song song/đồng quy: Nhận biết qua hệ số và vận dụng các công thức nhận diện nêu trên.
• Hệ phương trình gắn với bài toán thực tế: Đặt ẩn và lập hệ thích hợp trước khi giải.

7. Bài tập mẫu, lời giải chi tiết từng bước

Bài mẫu: Giải hệ phương trình sau:

Giải bằng phương pháp cộng đại số:

1. Nhân phương trình (1) với 2:$2x + 4y = 10$.
   
   Hệ trở thành:
   $$\begin{cases} 2x + 4y = 10 \\ 2x - 3y = 4 \\\end{cases}$$
2. Lấy phương trình (1) trừ phương trình (2):
   $(2x + 4y) - (2x - 3y) = 10 - 4$.
   
   $2x + 4y - 2x + 3y = 6 \Rightarrow 7y = 6 \Rightarrow y = \frac{6}{7}$
3. Thay$y$vào phương trình$(1)$:$x + 2y = 5 \Rightarrow x = 5 - 2y = 5 - 2 \times \frac{6}{7} = 5 - \frac{12}{7} = \frac{35-12}{7} = \frac{23}{7}$
4. Vậy nghiệm của hệ là:$x = \frac{23}{7},~y = \frac{6}{7}$

8. Bài tập thực hành

• $$\begin{cases} 3x + 2y = 8 \\ 2x - y = 1 \\\end{cases}$$
• $$\begin{cases} 4x - y = 9 \\ 2x + 3y = 4 \\\end{cases}$$
• $$\begin{cases} x + y = 3 \\ 2x + 2y = 6 \\\end{cases}$$
  (Xác định loại nghiệm)
• Đề bài mở rộng: Lập hệ và giải bài toán: Tổng hai số là 9, hiệu hai số là 1. Tìm hai số đó.

9. Mẹo và lưu ý giúp tránh sai lầm thường gặp

• Cẩn thận khi thực hiện phép nhân, chuyển vế và rút gọn để tránh sai số.
• Luôn kiểm tra nghiệm bằng cách thay vào cả hai phương trình.
• Chọn phương pháp giải phù hợp với từng hệ (nên ưu tiên khử khi hệ số một ẩn dễ đưa về đối nhau)
• Không bỏ qua kiểm tra điều kiện đặc biệt để nhận ra hệ vô nghiệm, vô số nghiệm.