Blog

Chiến lược giải quyết Bài tập cuối chương 9 Toán lớp 9: Cách giải bài toán tứ giác nội tiếp và đa giác đều

T
Tác giả
6 phút đọc
Chia sẻ:
6 phút đọc

1. Giới thiệu về loại bài toán này và tại sao nó quan trọng

Chương 9 của chương trình Toán lớp 9 chủ yếu tập trung vào hai chủ đề: tứ giác nội tiếp và đa giác đều. Bài tập cuối chương 9 thường là các bài toán tổng hợp có mức độ vận dụng cao, yêu cầu học sinh phải kết hợp nhiều kiến thức lý thuyết và kỹ năng đã học. Đây là dạng bài rất quan trọng không chỉ để ôn tập tổng kết kiến thức chương mà còn rèn luyện khả năng tư duy logic, phân tích hình học và kỹ năng trình bày lời giải.

2. Phân tích đặc điểm của loại bài toán này

Các bài tập cuối chương 9 thường có những đặc điểm sau:

  • Đề bài tổng hợp, nhiều ý nhỏ liên quan tới nhiều định nghĩa và định lý hình học.
  • Thường yêu cầu chứng minh tính chất của tứ giác nội tiếp: góc, cạnh, đường chéo, điểm đặc biệt...
  • Có thể có câu vận dụng về đa giác đều: số đo góc, độ dài cạnh, diện tích...
  • Yêu cầu sử dụng phối hợp các tính chất, định lý như đường tròn ngoại tiếp, tổng góc, định lý về góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung...

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

Để giải thành công dạng "bài tập cuối chương 9", học sinh nên tuân thủ các bước sau:

  1. Đọc kỹ đề, gạch dưới các yêu cầu, nhận diện dạng bài.
  2. Vẽ hình chính xác, ký hiệu rõ các yếu tố đã cho và cần chứng minh.
  3. Liệt kê các giả thiết, các yếu tố liên quan.
  4. Phân tích đề, liên hệ các định lý và tính chất áp dụng.
  5. Chứng minh từng ý theo trình tự hợp lý. Ghi chú lại các kết quả trung gian.

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Giả sử đề bài: Cho tứ giácABCDABCDnội tiếp đường tròn tâmOO, biếtABABcắtCDCDtạiEE. GọiFFlà giao điểm củaADADBCBC. Chứng minh rằng: (a) Bốn điểmE,O,FE, O, Fthẳng hàng; (b) Tính số đo các góc biết thêm thông tin góc.

Bước 1: Vẽ hình, ghi ký hiệu

Vẽ đường tròn tâmOO, lấy bốn điểmA,B,C,DA, B, C, Dtheo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ. Kẻ các đường thẳngABABcắtCDCDtạiEE,ADADcắtBCBCtạiFF.

Bước 2: Ghi giả thiết và các yếu tố liên quan

Giả thiết:ABCDABCDnội tiếp(O)(O);E=AB CDE = AB \ \cap CD,F=AD BCF = AD \ \cap BC.
Yêu cầu: Chứng minhE,O,FE, O, Fthẳng hàng.

Bước 3: Áp dụng các định lý hình học đã học

Sử dụng:
- Tính chất tứ giác nội tiếp: Tổng hai góc đối bằng180<br/>180^<br />.
- Định lý góc nội tiếp: Các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn thì bằng nhau.
- Định lý về các điểm đồng quy (Trung trực, trung tuyến, trực tâm).

Bước 4: Trình bày lời giải chi tiết

a) Chứng minhE,O,FE, O, Fthẳng hàng:
- Sử dụng định lý Pascal cho lục giác suy biếnA,B,C,D,A,BA,B,C,D,A,Bnội tiếp(O)(O):
Theo Pascal, giao điểm củaABABCDCDEE; giao điểm củaADADBCBCFF; giao điểm củaAAAABBBBOO(trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp doAAAABBBBlà đường kính hoặc đi qua tâm). Ba điểm này thẳng hàng.

b) Tính số đo một góc, ví dụ ABC\angle ABCbiếtBAD=60\angle BAD = 60^\circ:
DoABCDABCDnội tiếp nênABC+BAD=180    ABC=120\angle ABC + \angle BAD = 180^\circ \implies \angle ABC = 120^\circ.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

  • Tổng hai góc đối trong tứ giác nội tiếp:A+C=180\angle A + \angle C = 180^\circ
  • Tính số đo góc đa giác đềunncạnh:α=(n2)180n\alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}
  • Đường chéo đa giác đều: d=2Rsin(kπn)d = 2R\sin \left(\frac{k\pi}{n}\right)vớiRRlà bán kính đường tròn ngoại tiếp,kk là số cạnh nhảy
  • Hệ thức lượng trong tam giác vuông, tỉ số lượng giác.

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

  • Chứng minh các điểm đồng quy, thẳng hàng trong đa giác đều (dùng định lý Pascal, tính chất đối xứng)
  • Tính diện tích, độ dài cạnh, đường chéo của đa giác đều nội tiếp hoặc ngoại tiếp
  • Kết hợp thêm điều kiện song song, vuông góc, chia đoạn tỉ lệ
  • Nếu đề bài yêu cầu so sánh/đánh giá, chú ý phân tích dữ kiện ngược lại hoặc dựng thêm hình phụ

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết theo từng bước

Bài tập: Cho tứ giác ABCDABCDnội tiếp(O)(O). Đường chéo ACACcắtBDBDtạiEE. Chứng minh rằng:
1) ABC+CDA=180\angle ABC + \angle CDA = 180^\circ
2) AEBCED\triangle AEB \sim \triangle CED.

Lời giải:
1) Tứ giác nội tiếp    ABC+CDA=180\implies \angle ABC + \angle CDA = 180^\circ
2) Xét hai tam giácAEBAEBCEDCED:
-BAE=DCE\angle BAE = \angle DCE(cùng chắn cungBEBE)
-ABE=CDE\angle ABE = \angle CDE(cùng chắn cungAEAE)
=> Hai tam giác đồng dạng.

8. Bài tập thực hành để học sinh tự làm

  • Cho lục giác đều nội tiếp đường tròn(O)(O), gọiA,B,C,D,E,FA, B, C, D, E, Flà các đỉnh. Tính số đo góc mỗi đỉnh, độ dài đường chéo dài nhất.
  • Cho tứ giácABCDABCDnội tiếp(O)(O), biếtBAD=70\angle BAD = 70^\circ,ABC=110\angle ABC = 110^\circ. TínhCDA\angle CDA,DCB\angle DCB.
  • Cho tứ giácABCDABCDnội tiếp đường tròn,ABABCDCDcắt nhau tạiPP,ADADBCBCcắt nhau tạiQQ. Chứng minhP,O,QP, O, Qthẳng hàng.

9. Các mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

  • Luôn vẽ hình chính xác, dễ nhìn.
  • Ghi rõ ký hiệu các điểm, các đường cắt nhau, góc cần tính.
  • Nếu quên công thức tổng quát, hãy kiểm tra lại định nghĩa hoặc tính thử với đa giác nhỏ (tam giác, tứ giác).
  • Chú ý các giả thiết quan trọng, đặc biệt là các yêu cầu về nội tiếp ngoại tiếp.
  • Tránh nhầm lẫn giữa các loại góc (góc nội tiếp, góc ở tâm, góc tạo bởi dây cung...).
  • Khi áp dụng định lý, luôn trình bày rõ ràng tên định lý, cơ sở áp dụng.
T

Tác giả

Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".