Chiến lược giải quyết bài toán về Biến cố lớp 9 – Chi tiết, ví dụ và luyện tập

1. Giới thiệu về bài toán biến cố và tầm quan trọng

Bài toán về biến cố là chủ đề mở đầu cho chương Xác suất trong chương trình Toán lớp 9. Hiểu về biến cố là nền tảng tư duy giúp giải quyết các bài toán về xác suất, ứng dụng thực tiễn trong cuộc sống (ví dụ như tính xác suất rút thăm trúng thưởng, xác suất xuất hiện một mặt của xúc xắc,...). Việc nắm vững cách giải bài toán biến cố giúp học sinh tự tin khi gặp bài kiểm tra, ôn thi vào 10, và vận dụng linh hoạt kiến thức toán học.

2. Đặc điểm bài toán về biến cố

- Yêu cầu phải xác định được: Không gian mẫu ($ext{S}$), các biến cố (A, B,...) và mối quan hệ giữa chúng.
- Phải nhận diện được bài toán là về các biến cố độc lập, biến cố đối, biến cố giao, hợp,...
- Đôi khi đề bài hỏi về xác suất biến cố xảy ra, tính chất hoặc so sánh giữa các biến cố.

3. Chiến lược tổng thể tiếp cận bài toán biến cố

• Hiểu đề bài, xác định đầy đủ các đối tượng (quy tắc thử, các khả năng xảy ra, các biến cố đề cập)
• Lập không gian mẫu ($S$) theo dạng liệt kê hoặc phân loại nhóm, đảm bảo liệt kê đủ mọi khả năng
• Xác định rõ các biến cố (A, B,...) từ nội dung bài toán bằng cách diễn đạt thành tập hợp con của$S$
• Vẽ sơ đồ nếu cần (ví dụ hình cây, bảng liệt kê)
• Phân tích mối quan hệ giữa các biến cố: độc lập, đối, giao, hợp
• Vận dụng công thức xác suất:$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}$nếu mọi phần tử đều có khả năng xảy ra như nhau
• Đối với câu hỏi liên quan đến xác suất, cần kiểm tra kỹ điều kiện để áp dụng các công thức

4. Các bước giải quyết chi tiết (kèm ví dụ minh họa)

Dưới đây là các bước chi tiết khi giải bài toán về biến cố, cùng với ví dụ cụ thể để học sinh dễ hình dung.

Bước 1: Xác định không gian mẫu$S$

Ví dụ: Tung một đồng xu 1 lần. Không gian mẫu $S$ là tập hợp các kết quả có thể: S = \{\text{Sấp}, \text{Ngửa} \} .

Bước 2: Diễn đạt các biến cố bằng tập hợp

Ví dụ: Biến cố $A$ : "Được mặt sấp" có thể diễn đạt thành $A = \{\text{Sấp} \}$ , biến cố $B$ : "Được mặt ngửa" là $B = \{\text{Ngửa} \}$ .

Bước 3: Xác định các mối quan hệ giữa biến cố

Ví dụ: Biến cố đối của $A$ là $\overline{A} = \{\text{Ngửa} \} = B$ .

Bước 4: Tính xác suất biến cố (nếu được hỏi)

Dùng công thức:$\displaystyle P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}$.
Áp dụng ví dụ,$|A| = 1$,$|S| = 2$nên$P(A) = \frac{1}{2}$.

Bước 5: Trả lời các câu hỏi thêm về mối quan hệ hoặc diễn đạt lại biến cố

Chú ý các dạng như:
- Biến cố hợp:$A \cup B$
- Biến cố giao:$A \cap B$
- Biến cố đối:$\overline{A}$
- Biến cố chắc chắn và biến cố không thể xảy ra

Ví dụ minh họa tổng hợp

Một hộp có 3 thẻ ghi số 1, 2, 3. Lấy ngẫu nhiên một thẻ. Xác định:
(a) Không gian mẫu$S$.
(b) Biến cố $A$: “Rút được số chẵn”.
(c) Biến cố $B$: “Rút được số lẻ”.
(d) Biến cố đối của$A$.
(e) Xác suất của biến cố $A$và $B$.

Giải:
(a)$S = \{1;2;3\}$
(b)$A = \{2\}$
(c)$B = \{1;3\}$
(d)$\overline{A} = \{1;3\} = B$
(e)$P(A) = \frac{|A|}{|S|} = \frac{1}{3}$;$P(B) = \frac{2}{3}$

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

- Công thức xác suất biến cố:$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}$.
- Mối quan hệ các biến cố:
- Biến cố hợp:$A \cup B$
- Biến cố giao:$A \cap B$
- Biến cố đối:$\overline{A}$
-$P(A) + P(\overline{A}) = 1$.
- Với 2 biến cố không giao nhau:$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

• Chọn nhiều hơn một phần tử (ví dụ: rút 2 lá bài): Không gian mẫu là các cặp/phép hoán vị, cần lưu ý thứ tự hay không.
• Liên quan đến nhiều biến cố cùng lúc (A, B, C...): Xác định từng biến cố, dùng giao/hợp, xét mối quan hệ độc lập hay loại trừ.
• Biến cố không thể xảy ra hoặc chắc chắn xảy ra:$P(\emptyset)=0$,$P(S)=1$.

7. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài tập mẫu: Một con xúc xắc cân đối sáu mặt được tung. Xác định:

• (a) Không gian mẫu$S$.
• (b) Biến cố $A$: "Số ghi trên mặt là số chẵn".
• (c) Biến cố $B$: "Số chia hết cho 3".
• (d) Biến cố đối của$A$.
• (e) Tính$P(A)$,$P(B)$.

Lời giải:

(a)$S = \{1;2;3;4;5;6\}$

(b)$A = \{2;4;6\}$

(c)$B = \{3;6\}$

(d)$\overline{A} = \{1;3;5\}$

(e)$P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$;$P(B) = \frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

8. Bài tập thực hành tự luyện

1. Tung 2 đồng xu một lần.
   (a) Liệt kê không gian mẫu.
   (b) Xác định biến cố $A$: “Cả hai đều là mặt ngửa”.
   (c) Biến cố $B$: “Có ít nhất một mặt sấp”.
   (d) Tính$P(A)$,$P(B)$.
2. Trong một hộp có 4 viên bi đỏ và 3 viên bi xanh giống nhau. Lấy 1 viên bi.
   (a) Không gian mẫu là gì?
   (b) Tìm biến cố $A$: “Lấy được viên bi xanh”.
   (c) Tính$P(A)$.
3. Một thẻ số được rút ngẫu nhiên từ tập$\{1;2;3;4;5\}$. Xác định:
   (a) Biến cố $B$: “Rút được thẻ mang số lớn hơn 3”.
   (b) Biến cố đối của$B$.
   (c) Tính$P(B)$.

9. Các mẹo và lưu ý khi giải bài toán biến cố

• Phải liệt kê đủ và không trùng lặp các phần tử của$S$.
• Biến cố có thể biểu diễn dưới dạng tập hợp con của$S$, nhớ ghi rõ $A, B,...$.
• Kiểm tra lại xem các phần tử của biến cố có thuộc$S$không.
• Nhớ công thức tính xác suất và mối quan hệ các biến cố đối.
• Nếu nhiều biến cố, vẽ bảng hoặc sơ đồ để dễ nhìn tổng thể.
• Tập luyện nhiều dạng bài để nhạy bén hơn khi gặp đề biến thể.

Kết luận

Khi nắm vững cách giải bài toán biến cố, học sinh lớp 9 sẽ có nền tảng kiến thức vững chắc cho chương xác suất ở bậc THCS và dễ dàng làm chủ các dạng bài kiểm tra, ôn thi vào lớp 10. Hãy luyện tập thường xuyên, áp dụng linh hoạt chiến lược đã học, và luôn kiểm tra lại phần liệt kê các phần tử cùng các mối quan hệ giữa các biến cố.