1. Giới thiệu về bài toán "Dây" và tầm quan trọng

Bài toán "dây" là một chủ đề hình học cơ bản, xuất hiện nhiều trong chương trình Toán lớp 9, đặc biệt ở phần đường tròn. "Dây" là đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ trên đường tròn. Hiểu và biết cách giải các dạng bài toán về dây không chỉ giúp học sinh củng cố kiến thức hình học mà còn phát triển tư duy phân tích, kỹ năng lập luận logic và khả năng vận dụng các định lý đã học.

2. Đặc điểm và dạng bài toán về "Dây"

• Dây là đoạn nối hai điểm bất kỳ trên một đường tròn.
• Đường kính là dây dài nhất trong đường tròn, đi qua tâm.
• Tâm của đường tròn cách đều mọi điểm trên đường tròn; dây càng gần tâm càng dài.
• Các bài toán thường gặp: tính độ dài dây, xác định khoảng cách từ tâm đến dây, tìm vị trí dây thỏa mãn điều kiện cho trước, chứng minh các tính chất liên quan dây.

3. Chiến lược tổng thể khi tiếp cận bài toán về Dây

1. Phân tích kỹ đề bài: Xác định rõ các yếu tố đề cho (bán kính, vị trí điểm, tâm, dây) và yêu cầu cần giải quyết.
2. Vẽ hình chính xác: Hình minh họa giúp nhận diện các quan hệ hình học và dễ tìm hướng giải.
3. Ôn lại và áp dụng các định lý, hệ thức quen thuộc: Sử dụng hệ thức Pitago, công thức khoảng cách từ tâm đến dây, các định lý liên quan góc ở tâm, góc nội tiếp,…
4. Diễn đạt bằng kí hiệu toán học hoặc hệ thức đại số: Đặt tên điểm, vẽ hình và chuyển về bài toán tọa độ hoặc đại số nếu cần.
5. Làm từng bước, kiểm tra lại kết quả và kiểm chứng tính hợp lý của lời giải.

4. Các bước giải bài toán Dây – Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho đường tròn (O; R = 5 cm), dây AB cách tâm O một đoạn d = 3 cm. Hãy tính độ dài dây AB.

1. Bước 1: Vẽ hình – Dựng đường tròn (O), vẽ dây AB sao cho khoảng cách từ tâm O đến AB là 3 cm.
2. Bước 2: Dẫn đường vuông góc từ O xuống AB tại H, ta có OH = d = 3 cm.
3. Bước 3: Sử dụng tam giác vuông OHA (bởi OH ⊥ AB tại H, HA = HB = x – vì H là trung điểm của AB do OH ⊥ AB tại H). Ta có:
4. Bước 4: Áp dụng định lý Pitago:
   
   $OA^2 = OH^2 + HA^2 \Rightarrow HA = \sqrt{OA^2 - OH^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4~(cm)$
   Từ đó: $AB = 2 \times HA = 8~(cm)$
5. Bước 5: Kết luận – Độ dài dây AB là 8 cm.

Ví dụ 2: Với đường tròn (O; R), dây AB dài 6 cm. Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB, biết R = 5 cm.

1. Bước 1: Kẻ OH ⊥ AB tại H ⇒ H là trung điểm AB ⇒ HA = HB = 3 cm.
2. Bước 2: Tam giác OHA vuông tại H:
   
   $OA^2 = OH^2 + HA^2 \Rightarrow OH^2 = OA^2 - HA^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16$
   
   OH = 4 cm.
3. Bước 3: Kết luận – Khoảng cách từ tâm O đến dây AB là 4 cm.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Công thức tính độ dài dây biết bán kính R và khoảng cách d từ tâm đến dây:
  
  $AB = 2\sqrt{R^2 - d^2}$
• Khoảng cách từ tâm đến dây biết độ dài dây AB:
  
  $d = \sqrt{R^2 - (\frac{AB}{2})^2}$
• Dây song song và cách đều nhau: Nếu hai dây AB và CD song song, cùng cách tâm O một khoảng d thì chúng bằng nhau.
• Dây bằng nhau thì cách đều tâm.
• Đường kính là dây dài nhất:$AB \leq 2R$

6. Các biến thể của bài toán dây & điều chỉnh chiến lược

• Dây không đi qua tâm: Áp dụng trực tiếp công thức cơ bản đã học.
• Dây đi qua một điểm cố định: Thường phải sử dụng tọa độ hoặc hệ phương trình.
• Dây song song – tìm khoảng cách giữa hai dây song song cho biết bán kính.
  
  Áp dụng định lý dây song song cách đều tâm (nếu biết khoảng cách từ tâm đến một dây ⇒ tính luôn dây song song đó).
• Dây có liên quan đến góc ở tâm/góc nội tiếp: Xác định mối quan hệ giữa dây và góc đã cho, vận dụng định lý liên hệ dây – góc ở tâm.

7. Bài tập mẫu (có giải chi tiết)

Bài toán: Cho đường tròn (O; R = 13 cm), dây AB dài 10 cm. Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB.

1. Bước 1: Vẽ hình, kẻ OH ⊥ AB. Vì H là trung điểm của AB nên AH = 5 cm.
2. Bước 2: Xét tam giác vuông OAH với OA = 13 cm, AH = 5 cm, OH là đường cao:
   
   $OH^2 = OA^2 - AH^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$
   OH = 12 cm.
3. Bước 3: Kết luận: Khoảng cách từ tâm O đến dây AB là 12 cm.

Bài toán: Cho đường tròn (O; R = 10 cm), đường kính AB. Lấy điểm M trên đường tròn sao cho MA = 6 cm. Tính độ dài dây MB.

Gợi ý giải: Sử dụng tam giác AMB (với AB = 2R = 20 cm, AM = 6 cm, BM = ?), áp dụng định lý cosin hoặc các tính chất hình học đường tròn.

8. Bài tập thực hành

1. Cho đường tròn (O; R = 7 cm), dây AB cách tâm O một khoảng 4 cm. Tính độ dài dây AB.

2. Đường tròn (O; R = 8 cm) có dây CD dài 12 cm. Tính khoảng cách từ O đến CD.

3. Một đường tròn có hai dây song song AB và CD, biết AB dài 10 cm, cách tâm O là 6 cm. Hỏi dây CD dài bao nhiêu và cách tâm bao nhiêu?

4. Tìm điều kiện để dây EF dài lớn nhất trong đường tròn (O; R = 5 cm).

5. Chứng minh rằng trong một đường tròn, hai dây bằng nhau thì cách tâm bằng nhau.

9. Mẹo và lưu ý khi giải bài toán Dây

• Luôn vẽ hình thật chính xác, ghi rõ các yếu tố đã cho và cần tìm.
• Cẩn thận khi xác định trung điểm dây và dựng vuông góc từ tâm đến dây.
• Nắm vững định lý Pitago, nhớ các công thức tính độ dài dây, khoảng cách tâm–dây.
• Chú ý kiểm tra điều kiện thực tế của bài toán, như dây không thể dài hơn đường kính.
• Khi không nhớ công thức, hãy tư duy hình học bằng cách kẻ thêm đường (vuông góc từ tâm, đường kính, tia nối...) để phân tích vấn đề.