Chiến lược giải quyết bài toán Định nghĩa phép quay lớp 9: Hướng dẫn chi tiết và bài tập luyện tập miễn phí

1. Giới thiệu về dạng bài toán

Bài toán về Định nghĩa phép quay là một dạng bài hình học phẳng quan trọng trong chương trình lớp 9. Đề bài thường yêu cầu nhận diện phép quay, xác định ảnh của một điểm, một hình qua phép quay hoặc sử dụng tính chất của phép quay để chứng minh các mệnh đề toán học.

Dạng bài này xuất hiện thường xuyên trong các đề kiểm tra 15 phút, 1 tiết và đề thi học kỳ. Hiểu và vận dụng thành thạo định nghĩa phép quay không chỉ giúp học sinh làm tốt phần Hình học mà còn phát triển tư duy toán học logic. Đặc biệt, đây là nội dung trọng tâm trong bài “Đa giác đều và phép quay”.

Bạn có thể luyện tập miễn phí với 42.226+ bài tập cách giải Định nghĩa phép quay miễn phí ngay trong bài viết này!

2. Phân tích đặc điểm bài toán

2.1 Nhận biết dạng bài

• Các dấu hiệu đặc trưng: Đề nhắc tới phép quay, tâm quay, góc quay, ảnh của điểm/hình qua phép quay.
• Từ khóa quan trọng: phép quay, tâm O, góc quay$\alpha$, ảnh của điểm/hình, quay quanh điểm O một góc$\alpha$.
• Dễ phân biệt với các phép biến hình khác (đối xứng, tịnh tiến, đồng dạng) nhờ đặc điểm vừa bảo toàn khoảng cách, vừa quay quanh một tâm xác định.

2.2 Kiến thức cần thiết

• Định nghĩa: Phép quay tâm$O$, góc$\alpha$biến điểm$A$thành$A'$sao cho$OA=OA'$và $\widehat{AOA'}=\alpha$($A$≠$O$);$O$biến thành chính nó.
• Công thức tọa độ: Nếu $(x, y)$quay quanh gốc tọa độ $O(0,0)$một góc$\alpha$thành$(x', y')$ thì
  $x' = x\cos \alpha - y\sin \alpha$
  $y' = x\sin \alpha + y\cos \alpha$
• Kỹ năng vẽ hình, xác định các yếu tố (tâm, góc quay, ảnh của điểm/hình), sử dụng định lý về phép quay (bảo toàn khoảng cách, bảo toàn góc).
• Liên hệ với các chủ đề: Đa giác đều, phép tịnh tiến, đối xứng, các phép biến hình cơ bản trong hình học phẳng.

3. Chiến lược giải quyết tổng thể

3.1 Bước 1: Đọc và phân tích đề bài

• Đọc đề chậm, gạch chân các từ khóa: phép quay, tâm quay, góc quay, điểm/hình cần tìm ảnh.
• Xác định rõ yêu cầu: tìm ảnh của điểm/hình? chứng minh các điểm đối xứng/quay trùng nhau?…
• Ghi lại dữ kiện cho sẵn (tọa độ, vị trí, số đo…) và xác định đại lượng cần tìm.

3.2 Bước 2: Lập kế hoạch giải

• Chọn phương pháp: sử dụng định nghĩa, công thức tọa độ, vẽ hình hỗ trợ.
• Sắp xếp thứ tự các bước (xác định tâm, vẽ/nháp góc quay, áp dụng công thức…).
• Dự đoán dạng kết quả (tọa độ, vị trí hình…) để kiểm tra lại sau khi làm.

3.3 Bước 3: Thực hiện giải toán

• Áp dụng công thức/phương pháp chuẩn xác.
• Tính toán từng bước tránh nhầm dấu, đơn vị góc.
• Kiểm tra lại kết quả bằng cách thế ngược hoặc dựa vào tính chất bảo toàn của phép quay.

4. Các phương pháp giải chi tiết

4.1 Phương pháp cơ bản

Dựa hoàn toàn vào định nghĩa: Vẽ đường thẳng nối tâm quay đến điểm, đo và vẽ góc quay$\alpha$. Đo khoảng cách bảo toàn$OA = OA'$.Ưu điểm: dễ hiểu, phù hợp bài không đòi hỏi tính toán phức tạp. Hạn chế: mất thời gian nếu đề bài yêu cầu tính chính xác tọa độ.

4.2 Phương pháp nâng cao

Áp dụng công thức tọa độ cho phép quay với điểm $A(x, y)$quanh$O(0, 0)$góc$\alpha$:
$A'(x', y') = (x\cos \alpha - y\sin \alpha; x\sin \alpha + y\cos \alpha)$
Dễ dàng giải nhanh các bài toán cho trước tọa độ hoặc yêu cầu chứng minh đồng dạng.
Mẹo: với các góc đặc biệt ($90^\circ$, $180^\circ$, $270^\circ$), công thức trở nên đơn giản (thay trực tiếp các giá trị sin, cos).

5. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

5.1 Bài tập cơ bản

Đề bài: Cho điểm$A(2, 3)$, quay quanh tâm$O(0, 0)$một góc$90^\circ$theo chiều dương. Tìm tọa độ ảnh$A'$của$A$.

Lời giải:

Áp dụng công thức phép quay quanh$O(0, 0)$một góc$90^\circ$:

$x' = x\cos 90^\circ - y\sin 90^\circ = 2 \cdot 0 - 3 \cdot 1 = -3$

$y' = x\sin 90^\circ + y\cos 90^\circ = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 0 = 2$

Vậy$A'( -3, 2 )$là ảnh của$A$.

Giải thích: Thay giá trị sin/cos của$90^\circ$, áp dụng vào công thức.

5.2 Bài tập nâng cao

Đề bài: Cho tam giác$ABC$với$A(1, 0)$,$B(0, 1)$,$C(-1, 0)$. Thực hiện phép quay tâm$O(0, 0)$góc$120^\circ$. Tìm tọa độ ảnh$A'$,$B'$,$C'$. So sánh kết quả giữa các phương pháp.

Giải 1: Áp dụng công thức tổng quát cho cả ba điểm, thay $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$, $\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

- $A(1,0)$: $A'(1 \cdot (-\frac{1}{2}) - 0 = -0.5; 1 \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2}) = 0.866)$
- $B(0,1)$: $B' = (0 - 1 \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2}) = -0.866; 0 + 1 \cdot ( -\frac{1}{2}) = -0.5)$
- $C(-1,0)$: $C' = ( -1 \cdot ( -\frac{1}{2}) - 0 = 0.5; -1 \cdot ( \frac{\sqrt{3}}{2}) = -0.866)$

Giải 2: Vẽ hình, đo góc lần lượt từng điểm quanh$O$ để xác định cáo trị gần đúng (dùng khi không có tọa độ).

So sánh: Cách 1 nhanh, chính xác cho bài có số. Cách 2 trực quan, sử dụng khi bài chỉ yêu cầu mô tả hoặc minh họa.

6. Các biến thể thường gặp

• Tìm ảnh của một điểm/hình qua phép quay với tâm khác gốc tọa độ: cần chuyển hệ tọa độ về tâm quay trước.
• Phép quay kết hợp với tịnh tiến, đối xứng – cần phân tích riêng từng bước.
• Chứng minh hai hình là ảnh của nhau qua phép quay (chủ yếu dùng bảo toàn khoảng cách và góc).

7. Lỗi phổ biến và cách tránh

7.1 Lỗi về phương pháp

• Nhầm lẫn giữa phép quay với các phép biến hình khác.
• Quên xác định đúng dấu của góc quay (thuận/ ngược chiều kim đồng hồ).
• Áp dụng sai công thức tọa độ do không chú ý quay quanh gốc tọa độ hay điểm khác.

7.2 Lỗi về tính toán

• Sử dụng nhầm giá trị $\sin$, $\cos$ cho các góc đặc biệt ($90^\circ$, $120^\circ$, $180^\circ$…).
• Dấu trừ trong phép tính hoặc làm tròn sai ở bước cuối.
• Cách kiểm tra: thay ngược tọa độ ảnh về phép quay, đo bằng thước kẻ trên hình.

8. Luyện tập miễn phí ngay

Bạn có thể truy cập 42.226+ bài tập cách giải Định nghĩa phép quay miễn phí, không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập ngay! Hệ thống còn hỗ trợ theo dõi tiến độ, giúp bạn cải thiện kỹ năng vững vàng hơn.

9. Kế hoạch luyện tập hiệu quả

• Lịch trình: 1 tuần luyện 8-10 bài tập các mức độ (cơ bản, nâng cao), tổng kết và chữa lỗi cuối tuần.
• Mục tiêu: Thành thạo nhận biết đề, áp dụng đúng công thức và tự tin làm độc lập.
• Đánh giá tiến bộ: Làm lại các đề đã sai, ghi chú lý do và rút ra kinh nghiệm.