Chiến lược giải quyết bài toán Đường thẳng cắt đường tròn dành cho học sinh lớp 9

1. Giới thiệu về bài toán đường thẳng cắt đường tròn và tầm quan trọng

Bài toán về “đường thẳng cắt đường tròn” là một dạng bài trọng tâm trong chương trình Hình học 9. Loại bài toán này không chỉ thường xuyên xuất hiện trong các đề kiểm tra, đề thi mà còn là nền tảng để học các phần kiến thức nâng cao hơn như tiếp tuyến, vị trí tương đối và phương trình đường tròn ở các lớp cao hơn. Việc nắm vững cách giải bài toán đường thẳng cắt đường tròn sẽ giúp học sinh rèn luyện tư duy logic, kỹ năng vẽ hình, lập luận hình học và thành thạo các thao tác toán học cơ bản.

2. Đặc điểm của dạng toán đường thẳng cắt đường tròn

• Có hai đối tượng chính: đường thẳng d và đường tròn (O; R).
• Gồm các dạng: xác định vị trí tương đối; xác định số giao điểm; tìm tọa độ giao điểm; tính toán liên quan đến độ dài dây, tiếp tuyến…
• Yêu cầu sử dụng linh hoạt các công thức về đường tròn, phương trình đường thẳng và hệ tọa độ.

3. Chiến lược tổng thể khi giải bài toán đường thẳng cắt đường tròn

• 1. Nhận diện dạng toán: Xác định loại bài toán (tìm giao điểm, tính độ dài, tìm điều kiện cắt, v.v…).
• 2. Phân tích tương quan: Nhận biết hình vẽ, các vị trí và xác định các yếu tố dữ liệu quan trọng.
• 3. Thiết lập phương trình: Biểu diễn phương trình đường tròn và đường thẳng trong cùng hệ tọa độ.
• 4. Giải hệ phương trình: Tìm ẩn số chung (thường là x và y) để xác định tọa độ giao điểm.
• 5. Phân loại kết quả: Kết luận số giao điểm dựa trên nghiệm tìm được.

4. Các bước giải chi tiết kèm ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho đường tròn$(O; 5)$có phương trìnhx^2 + y^2 = 25" data-math-type="inline"> $<!--LATEX_PROCESSED_1755545112012--><code class="bg-gray-100 px-1 rounded">x^2 + y^2 = 25$ và đường thẳng$d: y = 3x + 1$. Hãy xác định số giao điểm của đường thẳng$d$với đường tròn.

• Bước 1: Viết phương trình hoành độ giao điểm
  Thay$y = 3x + 1$vào phương trình đường tròn:
• $x^2 + (3x+1)^2 = 25$
  $\Rightarrow x^2 + 9x^2 + 6x + 1 = 25$
  $\Rightarrow 10x^2 + 6x - 24 = 0$
• Bước 2: Giải phương trình bậc hai này:
  $10x^2 + 6x - 24 = 0$
• Tính biệt thức$riangle = 6^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-24) = 36 + 960 = 996 > 0$.
  Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt, nghĩa là $d$cắt đường tròn tại 2 điểm phân biệt.

Tóm lại: Số nghiệm (và bản chất của chúng) cho ta biết số giao điểm: 2 nghiệm phân biệt → cắt tại 2 điểm; nghiệm kép → tiếp xúc (tiếp tuyến); vô nghiệm → không cắt.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Phương trình đường tròn tâm$O(a; b)$, bán kính$R$:$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$
• Phương trình đường thẳng dạng tổng quát:$Ax + By + C = 0$hoặc$y = kx + m$
• Khoảng cách từ tâm $O(a; b)$ đến đường thẳng$Ax + By + C = 0$: $d = \frac{|Aa + Bb + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$
• Điều kiện giao điểm:
  - Nếu$d < R$: Cắt tại 2 điểm
  - Nếu$d = R$: Tiếp xúc
  - Nếu$d > R$: Không cắt

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

- Biến thể 1: Tìm tham số để đường thẳng cắt (hoặc tiếp xúc)

Thường yêu cầu tìm$m,k$trong$y = kx + m$ để thoả mãn điều kiện vị trí. Bạn chỉ cần lập phương trình khoảng cách từ tâm đến đường thẳng và thay điều kiện$d<R$(cắt),$d=R$(tiếp xúc) hoặc$d>R$(không cắt).

- Biến thể 2: Tìm tọa độ giao điểm / giao điểm chung

Lập hệ hai phương trình, giải tìm nghiệm$(x, y)$.

- Biến thể 3: Tính độ dài dây

Tính khoảng cách từ tâm đến đường thẳng là $d$, sau đó dùng định lý Pitago ở tam giác vuông:
$AB = 2\sqrt{R^2 - d^2}$

7. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài tập mẫu: Cho đường tròn$(O;3)$có phương trình$x^2 + y^2 = 9$. Tìm$m$ để đường thẳng$y = 2x + m$cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt.

• Bước 1: Viết phương trình hoành độ giao điểm
  $x^2 + (2x + m)^2 = 9$
• $x^2 + 4x^2 + 4mx + m^2 = 9$
  $5x^2 + 4mx + m^2 - 9 = 0$
• Bước 2: Yêu cầu cắt tại hai điểm phân biệt → phương trình có hai nghiệm phân biệt
  Điều kiện: $\Delta = (4m)^2 - 4 \times 5 \times (m^2 - 9) > 0$
  $16m^2 - 20m^2 + 180 > 0$
  $-4m^2 + 180 > 0 \Rightarrow m^2 < 45$
  Vậy $-\sqrt{45} < m < \sqrt{45}$.

Kết luận: Các giá trị $m$thỏa$-\sqrt{45} < m < \sqrt{45}$thì $y = 2x + m$ cắt đường tròn đã cho tại 2 điểm phân biệt.

8. Bài tập thực hành tự luyện

• 1. Cho đường tròn$(O;4)$:$x^2 + y^2 = 16$và đường thẳng$y = x + 2$. Hãy xác định vị trí tương đối của d và đường tròn.
• 2. Cho đường tròn$(O;2)$:$x^2 + y^2 = 4$. Tìm tất cả các giá trị $k$ để đường thẳng$y = kx + 1$không cắt đường tròn.
• 3. Đường tròn$(O;5)$:$x^2 + y^2 = 25$. Đường thẳng$x + 2y = 10$. Tính độ dài dây cung mà d cắt đường tròn.

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm khi giải bài toán đường thẳng cắt đường tròn

• Kiểm tra kỹ phương trình đường tròn và đường thẳng có cùng hệ tọa độ chưa.
• Khi giải phương trình bậc 2, tính đủ và đúng biệt thức$riangle$.
• Vẽ hình minh họa ngay từ đầu để dễ hình dung.
• Kiểm tra lại giá trị ẩn số để đảm bảo phù hợp điều kiện bài toán.
• Rèn luyện nhiều dạng bài, chú ý các trường hợp đặc biệt (cận biên giữa tiếp xúc và cắt, v.v…).