Cách giải bài toán hệ thức giữa cạnh và góc của tam giác vuông lớp 9 (chi tiết)

1. Giới thiệu về bài toán hệ thức giữa cạnh và góc của tam giác vuông

Các bài toán về hệ thức giữa cạnh và góc của tam giác vuông là chủ đề trọng tâm trong chương trình Hình học lớp 9. Kiến thức này giúp học sinh giải quyết hiệu quả các bài toán thực tế, tính toán độ dài, góc đo, chiều cao, khoảng cách và là nền tảng cho việc học lượng giác lớp 10 cũng như các ứng dụng trong Vật lý, Kỹ thuật.

2. Đặc điểm của bài toán hệ thức giữa cạnh và góc tam giác vuông

Bài toán thường cho biết một số cạnh và/hoặc góc của tam giác vuông và yêu cầu xác định các đại lượng còn lại.
Hay gặp ở dạng lập luận lý thuyết, giải tích tính toán hoặc chứng minh phương trình lượng giác đơn giản.
Các đại lượng liên quan chủ yếu là cạnh góc vuông, cạnh huyền và các góc nhọn.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

• Phân tích bài toán: Nhận diện cạnh, góc cho trước và xác định đại lượng cần tìm.
• Vẽ hình minh họa (nếu có thể) để dễ hình dung quan hệ giữa các cạnh và góc.
• Áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông dựa vào dữ kiện đề bài.
• Lựa chọn công thức phù hợp với dữ liệu bài toán để giải.
• Kiểm tra lại đơn vị, phạm vi giá trị, tính hợp lý của kết quả.

4. Các bước giải cụ thể với ví dụ minh họa

Giả sử tam giác vuông ABC tại A, AB = a (cạnh kề), AC = b (cạnh đối), BC = c (cạnh huyền), góc B = $\alpha$ .

Bước 1: Vẽ hình và kí hiệu các thông số.

Bước 2: Xác định đại lượng cho trước và cần tìm.

Ví dụ 1: Cho tam giác vuông ABC tại A, biết AB = 6 cm, góc ABC = $30^\circ$ . Tính AC và BC.

Bước 3: Chọn công thức phù hợp.

Sử dụng các tỉ số lượng giác cơ bản với góc nhọn $\alpha = 30^\circ$ :

\[\cos \alpha = \frac{AB}{BC}\]
\[\sin \alpha = \frac{AC}{BC}\]
\[\tan \alpha = \frac{AC}{AB}\]

Từ dữ kiện AB = 6 cm, $\alpha = 30^\circ$ , ta có:
$\tan 30^\circ = \frac{AC}{AB} \Rightarrow AC = AB \times \tan 30^\circ = 6 \times \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 3,46$ (cm)

Tính BC:
\[\cos 30^\circ = \frac{AB}{BC} \Rightarrow BC = \frac{AB}{\cos 30^\circ} = \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 6 \times \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 6,93\text{(cm)}\]

Vậy $AC \approx 3,46$ cm; $BC \approx 6,93$ cm.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

Các tỉ số lượng giác: $\sin \alpha = \frac{đối}{huyền}<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo separator="true">;</mo><mo><</mo><mi>b</mi><mi>r</mi><mo>></mo><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>k</mi><mover accent="true"><mover accent="true"><mi>e</mi><mo>^</mo></mover><mo>ˋ</mo></mover></mrow><mrow><mi>h</mi><mi>u</mi><mi>y</mi><mover accent="true"><mover accent="true"><mi>e</mi><mo>^</mo></mover><mo>ˋ</mo></mover><mi>n</mi></mrow></mfrac></mrow><annotation encoding="application/x-tex">; \cos \alpha = \frac{kề}{huyền}</annotation></semantics></math>;<br>cosα=huye^ˋnke^ˋ;\tan \alpha = \frac{đối}{kề}$ .
Công thức định lí Pytago: $a^2 + b^2 = c^2$
Công thức hệ thức lượng trong tam giác vuông:
- $h^2 = m.n$
- $a^2 = c.m$
- $b^2 = c.n$
- $h = \frac{ab}{c}$

Hình minh họa: Minh họa tam giác vuông ABC (A vuông), góc tại B là α, cạnh kề AB = 3, cạnh đối AC = 4, cạnh huyền BC = 5 và các công thức cosα = AB/BC = 3/5, sinα = AC/BC = 4/5, tanα = AC/AB = 4/3. — Minh họa tam giác vuông ABC (A vuông), góc tại B là α, cạnh kề AB = 3, cạnh đối AC = 4, cạnh huyền BC = 5 và các công thức cosα = AB/BC = 3/5, sinα = AC/BC = 4/5, tanα = AC/AB = 4/3.

6. Biến thể của bài toán và điều chỉnh chiến lược

Dạng cho biết cạnh huyền và một góc, yêu cầu tính cạnh góc vuông hoặc đường cao: Sử dụng tỉ số lượng giác và áp dụng các hệ thức đường cao.
Dạng cho biết hai cạnh, yêu cầu tính góc nhọn hoặc cạnh còn lại: Tính góc dùng các tỉ số lượng giác ngược, cạnh dùng định lí Pytago.
Dạng bài tổng hợp: Sử dụng kết hợp nhiều công thức/kỹ năng, xác định thông số trung gian để giải quyết.

7. Bài tập mẫu & lời giải chi tiết

Bài tập 1: Cho tam giác vuông ABC tại A, biết $AB = 8$ cm, $AC = 6$ cm. Tính $BC$ và các góc B, C.

Giải:
$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$ (cm).
$\sin B = \frac{AC}{BC} = \frac{6}{10} = 0,6 \Rightarrow \angle B \approx 36,87^\circ$ .
$\sin C = \frac{AB}{BC} = \frac{8}{10} = 0,8 \Rightarrow \angle C \approx 53,13^\circ$ .

Bài tập 2: Cho tam giác vuông ABC tại A, biết $AB = 12$ cm, $BC = 13$ cm. Tính $AC$ và góc ABC.

Giải: $AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$ (cm)
$\sin \angle ABC = \frac{AC}{BC} = \frac{5}{13} \approx 0,3846 \Rightarrow \angle ABC \approx 22,62^\circ$

8. Bài tập thực hành tự luyện

Bài 1: Cho tam giác vuông $ABC$ tại $A$ , $AB = 9$ cm, góc $BAC = 60^\circ$ . Tính $AC$ và $BC$ .
Bài 2: Cho tam giác vuông $MNP$ tại $N$ , $MN = 5$ cm, $MP = 13$ cm. Tìm $NP$ và góc $MNP$ (làm tròn đến $0,01^\circ$ ).
Bài 3: Cho tam giác vuông $DEF$ tại $D$ , $DF = 12$ cm, $góc DEF = 45^\circ$ . Tính các cạnh và góc còn lại.

9. Mẹo, lưu ý và tránh sai lầm phổ biến

Xác định đúng vị trí các cạnh đối, kề, huyền của góc làm việc.
Viết công thức đúng, nhất là khi sử dụng hàm lượng giác đối với các góc nhỏ hơn $90^\circ$ .
Chuyển đổi đơn vị nếu đầu bài cho dữ kiện khác nhau (cm, m, mm, ...).
Kiểm tra tính hợp lý của kết quả (cạnh huyền phải lớn hơn cạnh góc vuông, tổng hai góc nhọn phải bằng $90^\circ$ ).
Khi tính góc, sử dụng đúng đơn vị trên máy tính cầm tay (DEG hoặc RAD).

Blog

Chiến Lược Giải Quyết Bài Toán Hệ Thức Giữa Cạnh Và Góc Của Tam Giác Vuông Lớp 9 (Có Ví Dụ Và Bài Tập)

1. Giới thiệu về bài toán hệ thức giữa cạnh và góc của tam giác vuông

2. Đặc điểm của bài toán hệ thức giữa cạnh và góc tam giác vuông

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

4. Các bước giải cụ thể với ví dụ minh họa

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

6. Biến thể của bài toán và điều chỉnh chiến lược

7. Bài tập mẫu & lời giải chi tiết

8. Bài tập thực hành tự luyện

9. Mẹo, lưu ý và tránh sai lầm phổ biến

Danh mục:

Thẻ:

Tác giả

Liên hệ

Pháp lý

Blog

1. Giới thiệu về bài toán hệ thức giữa cạnh và góc của tam giác vuông

2. Đặc điểm của bài toán hệ thức giữa cạnh và góc tam giác vuông

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

4. Các bước giải cụ thể với ví dụ minh họa

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

6. Biến thể của bài toán và điều chỉnh chiến lược

7. Bài tập mẫu & lời giải chi tiết

8. Bài tập thực hành tự luyện

9. Mẹo, lưu ý và tránh sai lầm phổ biến

Danh mục:

Thẻ:

Tác giả

Liên hệ

Pháp lý

Theo dõi chúng tôi tại

Nhận thông tin mới nhất về chúng tôi