1. Giới thiệu về dạng bài toán

Bài toán hữu tỷ hóa mẫu thức (hoặc "rationalizing the denominator" trong tiếng Anh) là dạng toán yêu cầu học sinh biến đổi biểu thức phân thức có mẫu chứa căn thức bậc hai (hoặc cao hơn) thành biểu thức tương đương nhưng mẫu không còn chứa căn thức. Dạng bài này xuất hiện thường xuyên trong các đề kiểm tra, đề thi lớp 9 và cả trong kỳ thi vào lớp 10. Việc thành thạo dạng toán này không chỉ giúp học tốt chương 3 – Căn thức mà còn củng cố kĩ năng biến đổi biểu thức toán học.

Trên hệ thống của chúng tôi, bạn có thể luyện tập miễn phí với hơn 42.227+ bài tập cách giải Hữu tỷ hóa mẫu thức hoàn toàn miễn phí!

2. Phân tích đặc điểm bài toán

### 2.1 Nhận biết dạng bài

• Biểu thức có dạng $\frac{a}{\sqrt{b}}$, $\frac{a}{b+\sqrt{c}}$, $\frac{a}{\sqrt{b}-\sqrt{c}}$, v.v.
• Các từ khóa: "hữu tỷ hóa mẫu thức", "khử căn ở mẫu", "biến đổi mẫu về dạng hữu tỷ"
• Đề bài thường yêu cầu: "Hữu tỷ hóa mẫu thức sau" hoặc "Biến đổi mẫu thức về dạng hữu tỷ".

### 2.2 Kiến thức cần thiết

• Công thức liên hợp:$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$
• Phép nhân với 1 không làm thay đổi giá trị biểu thức: Nhân cả tử và mẫu với cùng một biểu thức
• Cách khai triển bình phương, hằng đẳng thức

3. Chiến lược giải quyết tổng thể

#### 3.1 Bước 1: Đọc và phân tích đề bài

• Chú ý xác định rõ yêu cầu đề bài: cần biến đổi mẫu như thế nào?
• Kẻ bảng hoặc gạch chân dữ liệu đã cho (mẫu chứa căn) và xác định mục tiêu (mẫu phải hết căn).

#### 3.2 Bước 2: Lập kế hoạch giải

• Chọn phương pháp phù hợp: Dạng $\frac{a}{\sqrt{b}}$thì thường nhân cả tử và mẫu với$\sqrt{b}$; dạng $\frac{a}{b+\sqrt{c}}$, $\frac{a}{\sqrt{b}-\sqrt{c}}$ thì nhân với biểu thức liên hợp.
• Sắp xếp thứ tự các bước: Xác định biểu thức cần nhân, nhân vào, rút gọn mẫu, sau cùng là rút gọn tử nếu có thể.
• Dự đoán kết quả: Kiểm tra xem mẫu có còn căn không và tổng thể biểu thức có đơn giản chưa.

#### 3.3 Bước 3: Thực hiện giải toán

• Áp dụng đúng công thức liên hợp hoặc nhân với căn phù hợp.
• Tính toán cẩn thận. Kiểm tra kỹ từng phép nhân, khai triển.
• Sau khi hữu tỷ hóa xong, kiểm tra lại xem mẫu đã hết căn chưa và tử có thể rút gọn được không.

4. Các phương pháp giải chi tiết

#### 4.1 Phương pháp cơ bản

• Trường hợp mẫu là căn đơn ($\frac{a}{\sqrt{b}}$): Nhân tử và mẫu với $\sqrt{b}$ để mẫu thành$b$.
• Trường hợp mẫu là tổng/hiệu có chứa căn: $\frac{a}{b+\sqrt{c}}$hoặc$\frac{a}{b-\sqrt{c}}$: Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp $b-\sqrt{c}$hoặc$b+\sqrt{c}$.

Ưu điểm: Dễ nhớ, đơn giản, độ chính xác cao, phù hợp với mọi học sinh.

Hạn chế: Đối với biểu thức phức tạp nhiều căn hoặc đa thức tại mẫu, cần vận dụng thêm các hằng đẳng thức và kĩ năng rút gọn.

#### 4.2 Phương pháp nâng cao

• Kỹ thuật giải nhanh: Với những mẫu phức tạp hơn (nhiều căn) có thể tách nhỏ hoặc nhóm các hạng tử trước khi tiến hành hữu tỷ hóa.
• Dùng mẹo: Nhớ mẫu liên hợp là lấy tổng đổi thành hiệu hoặc hiệu đổi thành tổng để mất căn ở mẫu.

Áp dụng dễ dàng từ ví dụ mẫu để ghi nhớ, đồng thời luôn kiểm tra lại kết quả chắc chắn mẫu đã sạch căn thức.

5. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

##### 5.1 Bài tập cơ bản

Đề bài: Hữu tỷ hóa mẫu thức $\frac{5}{\sqrt{3}}$

Lời giải từng bước:

1. Nhân cả tử và mẫu với $\sqrt{3}$(dùng phép nhân với$1$):
   $\frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$
2. Kiểm tra lại: Mẫu đã không còn căn thức.
3. Kết quả: $\frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$

Giải thích: Nhân cả tử và mẫu với $\sqrt{3}$để mẫu trở thành số hữu tỷ$3$.

##### 5.2 Bài tập nâng cao

Đề bài: Hữu tỷ hóa mẫu thức $\frac{1}{2+\sqrt{3}}$

Các cách giải:

1. Cách 1 - Dùng liên hợp:
   Nhân cả tử và mẫu với $2-\sqrt{3}$:
   
   \frac{1}{2+\sqrt{3}} = \frac{1 \times (2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}
   = \frac{2-\sqrt{3}}{4-3} = 2-\sqrt{3}<span class="math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo>&lt;</mo><mi>b</mi><mi>r</mi><mo>&gt;</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>N</mi><mi>h</mi><mtext>ư</mtext><mi>n</mi><mi>g</mi><mi>l</mi><mtext>ư</mtext><mi>u</mi><mover accent="true"><mi>y</mi><mo>ˊ</mo></mover><mo>:</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">&lt;br&gt; (Nhưng lưu ý:</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.5782em;vertical-align:-0.0391em;"></span><span class="mrel">&lt;</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7335em;vertical-align:-0.0391em;"></span><span class="mord mathnormal">b</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">r</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">&gt;</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.10903em;">N</span><span class="mord mathnormal">h</span><span class="mord latin_fallback">ư</span><span class="mord mathnormal">n</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">g</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="mord latin_fallback">ư</span><span class="mord mathnormal">u</span><span class="mord accent"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.6944em;"><span style="top:-3em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">y</span></span><span style="top:-3em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="accent-body" style="left:-0.1944em;"><span class="mord">ˊ</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.1944em;"><span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">:</span></span></span></span></span>\frac{1}{2+\sqrt{3}} = 2-\sqrt{3}
   là biểu thức tương đương, mẫu đã hữu tỷ).
2. Cách 2 - Phân tích mẫu rồi dùng liên hợp nhiều lần đối với phân thức phức tạp hơn (dạng nhiều căn hoặc có căn ở cả tử và mẫu).

So sánh: Cách 1 là chuẩn nhất và nhanh nhất cho dạng mẫu $a+b\sqrt{c}$hoặc$a-b\sqrt{c}$.

6. Các biến thể thường gặp

• Mẫu là tổng/hiệu nhiều căn: Áp dụng liên hợp hai lần.
• Mẫu là biểu thức bậc hai: Áp dụng hằng đẳng thức và nhóm hạng tử hợp lý.
• Trường hợp căn ở cả tử và mẫu: Rút gọn căn trước rồi hữu tỷ hóa mẫu.

7. Lỗi phổ biến và cách tránh

#### 7.1 Lỗi về phương pháp

• Chọn nhầm biểu thức liên hợp.
• Không nhân đủ cả tử và mẫu.
• Quên rút gọn biểu thức sau khi hữu tỷ hóa.

#### 7.2 Lỗi về tính toán

• Nhân sai biểu thức, nhầm lẫn dấu cộng - trừ.
• Làm tròn số không đúng (nếu có kết quả số thập phân).
• Để tránh: Kiểm tra lại từng phép tính, so sánh với đáp án mẫu.

8. Luyện tập miễn phí ngay

Bạn có thể truy cập kho tàng 42.227+ bài tập cách giải Hữu tỷ hóa mẫu thức miễn phí trên hệ thống. Không cần đăng ký. Bắt đầu luyện tập ngay lập tức, theo dõi tiến độ kèm hướng dẫn giải từng bước!

9. Kế hoạch luyện tập hiệu quả

• Chia đều các bài tập theo tuần (ví dụ mỗi tuần luyện 15-20 bài).
• Cuối tuần tổng kết lại các sai lầm và bài tập chưa chắc chắn.
• Đặt mục tiêu: Sau 2 tuần giải thành thạo dạng cơ bản, sau 4 tuần thành thạo mọi dạng nâng cao.
• Định kỳ làm bài kiểm tra nhỏ để tự đánh giá và so sánh tiến bộ.