Blog

Chiến Lược Giải Quyết Bài Toán Phép Quay Toán 9: Hướng Dẫn Từ Cơ Bản Đến Nâng Cao

T
Tác giả
7 phút đọc
Chia sẻ:
7 phút đọc

1. Giới thiệu về bài toán Phép quay và tầm quan trọng
Phép quay là một phép biến hình trong hình học phẳng giữ nguyên kích thước, hình dạng và không làm thay đổi khoảng cách giữa các điểm. Hầu hết các bài toán liên quan đến phép quay đều gắn liền với việc xác định vị trí mới của một điểm, một hình sau khi quay quanh một tâm theo một góc cho trước. Đây là dạng toán quan trọng trong chương trình Toán 9 vì rèn luyện tư duy hình học, khả năng hình dung không gian và ứng dụng rộng rãi trong các bài toán tứ giác nội tiếp, đa giác đều cũng như các chuyên đề thi học sinh giỏi.

2. Đặc điểm của bài toán về phép quay

- Có thế cho tâm quay, góc quay, và đối tượng cần quay (điểm, đoạn thẳng, tam giác, đa giác đều).
- Kết quả thường là xác định vị trí, tìm toạ độ điểm/hình sau phép quay hoặc chứng minh tính chất hình học liên quan đến phép quay.
- Dữ kiện bài cho có thể ở dạng toạ độ hoặc hình học phẳng cổ điển.

3. Chiến lược tổng thể tiếp cận bài toán phép quay

Trước khi giải một bài toán phép quay, hãy tuần tự thực hiện các bước sau:

  • Xác định rõ tâm quay, góc quay (hướng quay ngược chiều hay cùng chiều kim đồng hồ), đối tượng cần quay.
  • Minh hoạ hoặc vẽ hình cẩn thận, đánh dấu tên các điểm/hình sau quay.
  • Vận dụng công thức toạ độ hoặc các tính chất hình học liên quan đến phép quay.
  • Kiểm tra lại vị trí, tính chất hoặc quan hệ đã chứng minh bằng cách tính lại hoặc đối chứng bằng các phương pháp khác.

4. Các bước giải bài toán phép quay (ví dụ minh hoạ chi tiết)

Giả sử có bài toán sau:

Cho điểmA(2;3)A(2; 3), hãy xác định toạ độ điểmBBlà ảnh củaAAqua phép quay tâmO(0;0)O(0; 0), góc quay9090^\circngược chiều kim đồng hồ.

  1. Bước 1: Xác định yêu cầu bài toán
    Đề bài yêu cầu tìm ảnhBBcủaA(2;3)A(2; 3)qua phép quay tâmO(0;0)O(0; 0), gócα=90\alpha = 90^\circ.
  2. Bước 2: Viết công thức phép quay
    Theo kiến thức, với tâm quay O(0;0)O(0; 0)và góc quayα\alpha, ảnh M(x;y)M'(x'; y')củaM(x;y)M(x; y) sau phép quay là:
    {x=xcosαysinαy=xsinα+ycosα\begin{cases}
    x' = x\cos \alpha - y\sin \alpha \\
    y' = x\sin \alpha + y\cos \alpha
    \\\end{cases}
  3. Bước 3: Thay số cụ thể
    Với α=90\alpha = 90^\circ, cos90=0\cos90^\circ = 0, sin90=1\sin90^\circ = 1
    \begin{cases}
    x' = 2 \cdot 0 - 3 \cdot 1 = -3 \\
    y' = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 0 = 2
    \\\end{cases}<span class="math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo>&lt;</mo><mi>b</mi><mi>r</mi><mo>&gt;</mo><mi>V</mi><mtext>ậ</mtext><mi>y</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">&lt;br&gt;Vậy</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.5782em;vertical-align:-0.0391em;"></span><span class="mrel">&lt;</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7335em;vertical-align:-0.0391em;"></span><span class="mord mathnormal">b</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">r</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">&gt;</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.8778em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.22222em;">V</span><span class="mord">ậ</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">y</span></span></span></span></span>B(-3; 2)
    .
  4. Bước 4: Kiểm tra hình vẽ (tuỳ chọn)
    Vẽ hình lên mặt phẳng toạ độ để xác nhận B nằm tại vị trí đã tính.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

- Phép quay tâmO(x0;y0)O(x_0; y_0), gócα\alphabiến điểmM(x;y)M(x; y)thànhM(x;y)M'(x'; y'):

<br/>{<br/><br/>x=x0+(xx0)cosα(yy0)sinα<br/>y=y0+(xx0)sinα+(yy0)cosα<br/><br/><br/><br />\left\{<br />\begin{aligned}<br />x' & = x_0 + (x - x_0) \cos \alpha - (y - y_0) \sin \alpha \\<br />y' & = y_0 + (x - x_0) \sin \alpha + (y - y_0) \cos \alpha<br />\\\end{aligned}<br />\right.<br />

- Với tâm O(0;0)O(0; 0):

<br/>{<br/><br/>x=xcosαysinα<br/>y=xsinα+ycosα<br/><br/><br/><br />\left\{<br />\begin{aligned}<br />x' = x\cos \alpha - y\sin \alpha \\<br />y' = x\sin \alpha + y\cos \alpha<br />\\\end{aligned}<br />\right.<br />

  • α>0\alpha > 0: quay ngược chiều kim đồng hồ;
  • α<0\alpha < 0: quay cùng chiều kim đồng hồ;
  • Một số góc đặc biệt thường gặp:
    - 9090^\circ: cos=0\cos=0, sin=1\sin=1
    - 180180^\circ: cos=1\cos=-1, sin=0\sin=0
    - 270270^\circ: cos=0\cos=0, sin=1\sin=-1

6. Các biến thể của bài toán, cách điều chỉnh chiến lược

- Quay quanh một tâm không phải gốc toạ độ: cần "chuyển dịch" hệ toạ độ về tâm quay, thực hiện quay, rồi chuyển lại.
- Bài toán chứng minh: áp dụng phép quay để lập luận về bất biến hình học, song song, bằng nhau góc, đoạn thẳng...
- Bài toán về đa giác đều liên quan đến phép quay: tính số lần phép quay vừa khít, tính chất đa giác khi quay góc đặc biệt.

Mỗi biến thể, hãy hình dung hoặc vẽ lại, chọn phương pháp phù hợp (toạ độ hoặc hình học thuần tuý).

7. Bài tập mẫu giải chi tiết từng bước

Bài tập: Cho tam giácABCABCvớiA(2;1)A(2; 1),B(4;2)B(4; 2),C(3;4)C(3; 4). Tìm ảnhAA',BB',CC'của ba đỉnh qua phép quay tâmO(1;2)O(1; 2), góc180180^\circ.

  1. Bước 1: Xác định dữ kiện và tâm, góc quay.
    TâmO(1;2)O(1; 2), góc180180^\circ.
  2. Bước 2: Áp dụng công thức quay quanh tâm bất kỳ.
    Với cos180=1\cos180^\circ = -1, sin180=0\sin180^\circ = 0:
    {x=1+(x1)(1)(y2)0=1(x1)=2xy=2+(x1)0+(y2)(1)=2(y2)=4y\left\{\begin{aligned}
    x' & = 1 + (x - 1)(-1) - (y - 2) \cdot 0 = 1 - (x - 1) = 2 - x \\
    y' & = 2 + (x - 1) \cdot 0 + (y - 2)(-1) = 2 - (y - 2) = 4 - y
    \\\end{aligned}\right.
  3. Bước 3: Tính từng đỉnh:
    -A(2;1)A(2; 1):A(22;41)=(0;3)A'(2-2; 4-1) = (0; 3)
    -B(4;2)B(4; 2):B(24;42)=(2;2)B'(2-4; 4-2) = (-2; 2)
    -C(3;4)C(3; 4):C(23;44)=(1;0)C'(2-3; 4-4) = (-1; 0)

8. Bài tập thực hành dành cho học sinh

- Bài 1: Cho điểmM(4;2)M(4; -2). Tìm ảnhNNcủaMMqua phép quay tâmO(0;0)O(0; 0), góc9090^\circcùng chiều kim đồng hồ.
- Bài 2: Cho hình vuôngABCDABCDvớiA(1;1)A(1; 1),B(3;1)B(3; 1),C(3;3)C(3; 3)D(1;3)D(1; 3). Tìm toạ độ ảnh của các đỉnh sau phép quay9090^\circquanh tâmI(2;2)I(2; 2)ngược chiều kim đồng hồ.
- Bài 3: Cho tam giácDEFDEFvớiD(0;0)D(0; 0),E(6;0)E(6; 0),F(3;6)F(3; 6). Ảnh của tam giác sau phép quay tâmO(3;2)O(3; 2), góc120120^\circlà gì?

(Học sinh tự giải, kiểm tra kết quả với bạn bè hoặc thầy cô)

9. Mẹo, lưu ý giúp tránh sai lầm khi giải bài toán phép quay

  • Đọc kỹ đề để xác định chính xác tâm quay và hướng, góc quay.
  • Luôn chú ý đơn vị góc (degree\text{degree},radian\text{radian}) khi thay số vào công thức lượng giác.
  • Nên vẽ hình ra giấy nháp để tránh nhầm lẫn vị trí các điểm/hình sau khi quay.
  • Chú ý dấu++,-khi thay vào công thức.
  • Kiểm tra trường hợp đặc biệt: quay180180^\circchính là phép đối xứng tâm!

Hy vọng với chiến lược "cách giải bài toán phép quay" cùng các ví dụ, luyện tập và mẹo thực tế trên, học sinh lớp 9 sẽ tự tin chinh phục mọi dạng bài liên quan đến phép quay trong chương trình Toán THCS.

T

Tác giả

Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".