Chiến lược giải quyết bài toán 'Bài 1. Tỉ số lượng giác của góc nhọn' lớp 9

1. Giới thiệu về bài toán tỉ số lượng giác góc nhọn và tầm quan trọng

Bài toán về "Bài 1. Tỉ số lượng giác của góc nhọn" là dạng bài mở đầu, nền tảng cho chương lượng giác ở lớp 9. Khi học phần này, các em sẽ làm quen và vận dụng 4 tỉ số lượng giác cơ bản: sin, cos, tan, cot đối với một góc nhọn trong tam giác vuông. Hiểu vững các tỉ số lượng giác giúp giải quyết hiệu quả nhiều bài toán hình học, chuẩn bị cho các chương trình cấp trên và ứng dụng cả trong thực tiễn.

2. Phân tích đặc điểm loại bài toán này

Dạng bài tập này chủ yếu xuất hiện trong các bài về tam giác vuông, yêu cầu tính tỉ số lượng giác của một góc nhọn (thường đặt trong tam giác vuông) hoặc tính một cạnh, một góc khi biết các yếu tố khác. Đặc điểm nổi bật:

• Liên quan trực tiếp đến các cạnh của tam giác vuông và các định nghĩa tỉ số lượng giác.
• Thường yêu cầu phân biệt rõ đâu là góc vuông, đâu là các cạnh đối, kề, huyền.
• Rèn luyện khả năng vẽ hình, quan sát, nhận diện các cạnh đúng theo góc đã cho.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán tỉ số lượng giác

Để giải quyết nhanh và chính xác, hãy áp dụng chiến lược sau:

1. Đọc kỹ đề bài, xác định rõ các yếu tố đã cho và yêu cầu cần tìm.
2. Vẽ hình chính xác, ký hiệu các cạnh, các góc rõ ràng.
3. Xác định đúng các cạnh: cạnh đối, cạnh kề và cạnh huyền theo góc đang xét.
4. Nhớ và vận dụng đúng các định nghĩa về sin, cos, tan, cot.
5. Tính toán cẩn thận; đơn giản, rút gọn phân số và kiểm tra lại kết quả.

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ minh họa 1:

Cho tam giác vuông$ABC$tại$A$, biết$AB = 3$cm,$AC = 4$cm. Tính các tỉ số lượng giác của góc$B$.

Giải chi tiết từng bước:

1. Vẽ hình tam giác vuông$ABC$tại$A$.
2. Nhận diện cạnh theo góc$B$:
   - Cạnh huyền$BC$
   - Cạnh kề:$AB$
   - Cạnh đối:$AC$
3. Tính cạnh huyền $BC$ theo định lý Pitago:
   $BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \ (cm)$
4. Áp dụng định nghĩa các tỉ số lượng giác:
   
   - $\sin B = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh huyền}} = \frac{AC}{BC} = \frac{4}{5}$
   - $\cos B = \frac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh huyền}} = \frac{AB}{BC} = \frac{3}{5}$
   - $\tan B = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh kề}} = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{3}$
   - $\cot B = \frac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh đối}} = \frac{AB}{AC} = \frac{3}{4}$

Kết quả:

• $\sin B = \frac{4}{5}$
• $\cos B = \frac{3}{5}$
• $\tan B = \frac{4}{3}$
• $\cot B = \frac{3}{4}$

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

Đối với tam giác vuông$ABC$tại$A$, với góc nhọn$B$hoặc$C$:

• $\sin B = \frac{AC}{BC}$
• $\cos B = \frac{AB}{BC}$
• $\tan B = \frac{AC}{AB}$
• $\cot B = \frac{AB}{AC}$
• Định lý lượng giác: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$(với$0^\circ < \alpha < 90^\circ$)

Ngoài ra, học sinh cần nhớ định lý Pitago để tìm cạnh còn thiếu khi chỉ biết hai cạnh.

6. Các biến thể bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

Một số biến thể thường gặp:

• Chỉ cho biết hai cạnh bất kỳ, yêu cầu tính tỉ số lượng giác.
• Cho hai tỉ số lượng giác, tìm các cạnh hoặc các tỉ số khác.
• Cho biết giá trị số học của một tỉ số lượng giác, yêu cầu tìm góc hoặc các tỉ số lượng giác khác.

Cách điều chỉnh chiến lược: Luôn vẽ hình, dùng Pitago để tìm thiếu, duy trì các bước xác định cạnh chính xác theo góc đang xét. Luôn đặt câu hỏi: "cạnh này là gì so với góc mình cần?" để tránh nhầm lẫn.

7. Bài tập mẫu kèm lời giải chi tiết

Bài tập 1:

Cho tam giác vuông $DEF$tại$E$, biết $DF = 13$cm,$DE = 5$cm. Tính$\sin F$, $\cos F$, $\tan F$, $\cot F$

Giải:

1. Cạnh huyền$DF = 13$cm. Xét góc$F$, có:
   - Cạnh kề ($DE$) = 5 cm.
   - Cạnh đối ($EF$) chưa biết.
2. Áp dụng định lý Pitago để tìm$EF$:
   $DF^2 = DE^2 + EF^2 \Rightarrow EF^2 = DF^2 - DE^2 = (13)^2 - (5)^2 = 169 - 25 = 144 \Rightarrow EF = 12 \text{cm}$
3. Tính các tỉ số lượng giác:
   - $\sin F = \frac{EF}{DF} = \frac{12}{13}$
   - $\cos F = \frac{DE}{DF} = \frac{5}{13}$
   - $\tan F = \frac{EF}{DE} = \frac{12}{5}$
   - $\cot F = \frac{DE}{EF} = \frac{5}{12}$

Kết quả: $\sin F = \frac{12}{13}$, $\cos F = \frac{5}{13}$, $\tan F = \frac{12}{5}$, $\cot F = \frac{5}{12}$

8. Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho tam giác vuông$XYZ$tại$Y$,$XY = 6$cm,$YZ = 8$cm. Hãy tính các tỉ số lượng giác của góc$X$.

Bài 2: Tam giác vuông$KLM$tại$L$, biết$KL = 15$cm,$LM = 20$cm. Tính các tỉ số lượng giác của góc$M$.

Bài 3: Trong tam giác vuông$OPQ$tại$O$, dây$PQ = 10$cm,$OP = 6$cm. Tính các tỉ số lượng giác của góc$Q$.

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• Vẽ hình cẩn thận, ký hiệu các đỉnh, góc rõ ràng.
• Luôn xác định đúng đâu là cạnh đối, cạnh kề theo góc đang xét.
• Kiểm tra kỹ lại phép tính (đặc biệt khi dùng định lý Pythagoras).
• Không được hoán vị nhầm các tỉ số công thức lượng giác.
• Nên nhớ mẹo: "đối-huyền: sin; kề-huyền: cos; đối-kề: tan; kề-đối: cot."

Tóm lại, nắm vững cách xác định cạnh, hiểu định nghĩa các tỉ số lượng giác và làm nhiều bài tập thực hành là chìa khóa thành công trong chủ đề này.

Chúc các em học tốt!