Chiến lược giải quyết bài toán Tính độ dài cạnh cho học sinh lớp 9

1. Giới thiệu về bài toán Tính độ dài cạnh

Bài toán “Tính độ dài cạnh” là một dạng toán cơ bản nhưng có vai trò vô cùng quan trọng trong chương trình hình học lớp 9 nói riêng và nền tảng toán học nói chung. Việc nắm vững cách giải bài toán tính độ dài cạnh giúp học sinh củng cố kiến thức về tam giác vuông, hệ thức lượng và ứng dụng thành thạo các công thức để giải quyết các bài toán thực tiễn và các kỳ thi quan trọng. Ngoài ra, đây còn là dạng toán thường gặp trong kiểm tra, thi học sinh giỏi hay các kỳ thi tuyển sinh.

2. Đặc điểm và phân loại bài toán tính độ dài cạnh

Dạng toán này xuất hiện chủ yếu trong các bài toán về tam giác vuông, tam giác thường và ứng dụng các hệ thức lượng. Đặc điểm chung là đề bài sẽ cho một số yếu tố (như các cạnh, góc, đường cao, đoạn thẳng liên quan...) và yêu cầu học sinh vận dụng lý thuyết, công thức để tìm độ dài cạnh còn thiếu.

• Các loại phổ biến gồm:
• Dùng định lý Pytago (tam giác vuông)
• Dùng các hệ thức lượng trong tam giác vuông
• Dùng định lý cosin, sin trong tam giác bất kỳ
• Áp dụng tính chất về đường cao, trung tuyến, phân giác, liên hệ giữa các đoạn thẳng

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

• Bước 1: Đọc kỹ đề và xác định rõ yêu cầu cần tính cạnh nào.
• Bước 2: Phân tích các dữ kiện đã cho (các cạnh, góc, đường cao, đường trung tuyến, ...).
• Bước 3: Vẽ hình minh họa (nếu chưa có hình) và đánh dấu các yếu tố.
• Bước 4: Liệt kê các công thức, định lý có thể sử dụng phù hợp với dữ kiện.
• Bước 5: Giải bài toán theo trình tự logic, thay số và tính toán cẩn thận.
• Bước 6: Đối chiếu lại kết quả với điều kiện đề bài để kiểm tra tính hợp lý.

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

• Bài toán 1: Trong tam giác vuông$ABC$(vuông tại$A$), biết$AB = 6$cm,$AC = 8$cm. Tính độ dài cạnh$BC$.

• Bước 1: Vẽ hình tam giác vuông$ABC$, vuông tại$A$,$AB$,$AC$là hai cạnh góc vuông.
• Bước 2: Xác định cần tính$BC$- là cạnh huyền (đối diện góc vuông).
• Bước 3: Áp dụng định lý Pytago:
• Theo Pytago:
  $BC^2 = AB^2 + AC^2 <br>Thay số:$BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$<br> BC = \sqrt{100} = 10 \text{cm}$

Vậy$BC = 10$cm.

• Bài toán 2: Cho tam giác vuông$ABC$tại$A$, biết$AB = 9$cm, đường cao$AH = 6$cm. Tính độ dài cạnh$AC$.

• Bước 1: Vẽ hình minh họa tam giác vuông tại$A$, đường cao$AH$hạ xuống$BC$.
• Bước 2: Mọi dữ kiện đã cho:$AB$,$AH$cần tính$AC$.
• Bước 3: Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:
  
  $AB \cdot AC = AH \cdot BC$
  
  Nhưng $BC = \sqrt{AB^2 + AC^2}$ nên ta lập phương trình để tính.
• Bước 4: Đặt $AC = x$, $BC = \sqrt{9^2 + x^2}$.
  
  $\Rightarrow 9x = 6 \cdot \sqrt{9^2 + x^2}$
• Giải phương trình:
• $9x = 6\sqrt{81 + x^2}$
  $\Rightarrow 3x/2 = \sqrt{81 + x^2}$
  $\Rightarrow (3x/2)^2 = 81 + x^2$
  $\Rightarrow 9x^2/4 = 81 + x^2$
  $\Rightarrow 9x^2 - 4x^2 = 324$
  $\Rightarrow 5x^2 = 324$
  $\Rightarrow x^2 = 64.8$
  $\Rightarrow x = 8.05$ (làm tròn đến 2 chữ số thập phân)
  

Vậy$AC \approx 8.05$cm.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Định lý Pytago:
  $a^2 + b^2 = c^2$
  Trong đó $a, b$là hai cạnh góc vuông,$c$là cạnh huyền.
• Các hệ thức lượng cơ bản trong tam giác vuông:
• +$AB^2 = BH \cdot BC$
• +$AC^2 = CH \cdot BC$
• +$AH^2 = BH \cdot CH$
• +$AB \cdot AC = AH \cdot BC$
• Định lý cosin trong tam giác:
  $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos{A}$
  
• Định lý sin:
  $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$
  

6. Các biến thể của bài toán và điều chỉnh chiến lược

• Khi đề bài cho độ dài hai cạnh và yêu cầu tính cạnh còn lại: dùng định lý Pytago.
• Khi cho cạnh và đường cao, đoạn trung tuyến, đường phân giác: dùng hệ thức lượng phù hợp.
• Nếu cho hai cạnh và một góc khác cạnh huyền: sử dụng định lý sin hoặc cosin.
• Nếu gặp tam giác thường: luôn thử áp dụng định lý cosin hoặc sin.

Luôn linh hoạt xác định dạng đề để vận dụng công thức thích hợp và chuyển đổi dữ kiện phù hợp với hướng giải.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

• Bài tập: Cho tam giác$ABC$vuông tại$A$,$AB = 5$cm,$AC = 12$cm. Kẻ đường cao$AH$từ $A$xuống$BC$. Tính độ dài$BC$và $AH$.

• Bước 1: Tính $BC$ bằng định lý Pytago:
  $BC^2 = AB^2 + AC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 <br>$BC = \sqrt{169} = 13 \,\text{cm}$
• Bước 2: Tính$AH$(đường cao hạ từ $A$xuống$BC$):
  Trong tam giác vuông, đường cao ứng với cạnh huyền$AH$ được tính bằng công thức:
  $AH = \frac{AB \cdot AC}{BC}$
  $AH = \frac{5 \cdot 12}{13} = \frac{60}{13} \approx 4.62 \,\text{cm}$

8. Bài tập thực hành

• Bài 1: Cho tam giác vuông$DEF$tại$D$,$DE = 9$cm,$DF = 12$cm. Tính độ dài$EF$.
• Bài 2: Trong tam giác vuông$XYZ$tại$X$, biết$XY = 8$cm,$YZ = 10$cm. Tính độ dài$XZ$.
• Bài 3: Cho tam giác vuông$MNP$tại$N$, đường cao$NH = 6$cm,$MN = 8$cm. Tính$NP$.
• Bài 4: Tam giác$ABC$có $AB = 7$cm,$AC = 15$cm, góc$A = 60^\circ$. Tính độ dài$BC$(sử dụng định lý cosin).

9. Các mẹo và lưu ý tránh sai lầm

• Luôn vẽ hình chính xác, xác định đúng loại tam giác.
• Xác định rõ cạnh cần tính, chú ý các ký hiệu và tên gọi các cạnh.
• Kiểm tra kỹ các dữ kiện có thể suy luận ra thêm các yếu tố khác.
• Đối chiếu kết quả với điều kiện (ví dụ, cạnh huyền luôn lớn nhất trong tam giác vuông).
• Không nhầm lẫn giữa các hệ thức lượng, mỗi trường hợp chỉ áp dụng đúng loại.

Hy vọng với hướng dẫn "cách giải bài toán Tính độ dài cạnh", các bạn học sinh sẽ tự tin hơn khi gặp các bài toán dạng này. Luyện tập nhiều và làm thêm các bài tập nâng cao để thành thạo kỹ năng giải toán!