Chiến lược giải quyết bài toán: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn – Hướng dẫn chi tiết lớp 9

1. Giới thiệu về bài toán vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Bài toán về vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn là một trong những chủ đề trọng tâm của chương Hình học lớp 9, xuất hiện phổ biến trong kiểm tra, đề thi và các bài toán thực tế. Dạng bài toán này giúp học sinh rèn luyện tư duy hình học, khả năng vận dụng kiến thức về phương trình đường thẳng, phương trình đường tròn và giải quyết các tình huống thực tiễn.

2. Đặc điểm và các dạng bài toán cơ bản

Đặc điểm chung: Dạng toán này thường yêu cầu xác định mối quan hệ giữa một đường thẳng và một đường tròn dựa trên tọa độ hoặc phương trình cho trước.

• Dạng 1: Xác định vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn (song song, tiếp xúc, cắt nhau).
• Dạng 2: Tìm tham số để đường thẳng tiếp xúc hoặc cắt đường tròn.
• Dạng 3: Tính độ dài đoạn thẳng tạo bởi giao điểm hoặc độ dài tiếp tuyến từ điểm ngoài đường tròn.

3. Chiến lược tổng thể để giải bài toán

Chiến lược chung khi giải bài toán vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn gồm 3 bước chính:

• Bước 1: Viết phương trình đường tròn và đường thẳng dưới dạng chuẩn.
• Bước 2: Lập phương trình hoành độ giao điểm giữa đường thẳng và đường tròn.
• Bước 3: Phân tích nghiệm của phương trình (bậc hai) vừa lập để xác định vị trí tương đối hoặc các yếu tố liên quan.

4. Các bước giải cụ thể minh họa

Ví dụ 1: Cho đường tròn$(C): (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 25$và đường thẳng$d: 3x - 4y + 5 = 0$. Xác định vị trí tương đối của d và C.

• Bước 1: Xác định tâm và bán kính đường tròn:$I(1; -2)$,$R = 5$.
• Bước 2: Tính khoảng cách từ tâm $I$ đến đường thẳng$d$:
  
  $d(I, d) = \frac{|3 \cdot 1 - 4 \cdot (-2) + 5|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|3 + 8 + 5|}{5} = \frac{16}{5} = 3,2$
• Bước 3: So sánh$d(I, d)$với$R$:
  
  - Nếu$d(I, d) > R$: đường thẳng nằm ngoài đường tròn.
  - Nếu$d(I, d) = R$: đường thẳng tiếp xúc đường tròn.
  - Nếu$d(I, d) < R$: đường thẳng cắt đường tròn.
  
  Ở đây$3,2 < 5$→ Đường thẳng d cắt đường tròn C.

Ví dụ 2: Tìm m để đường thẳng$y = mx + 2$tiếp xúc với đường tròn$(C): x^2 + y^2 = 5$.

• Bước 1: Bán kính $R = \sqrt{5}$, tâm $O(0; 0)$.
• Bước 2: Khoảng cách từ tâm đến đường thẳng phải bằng bán kính:
  
  $d(O, d) = \frac{|0 + 1 \cdot 2|}{\sqrt{1 + m^2}} = \frac{2}{\sqrt{1 + m^2}} <br><br>Suy ra:<br><br>$\frac{2}{\sqrt{1 + m^2}} = \sqrt{5} \Rightarrow 2^2 = 5(1 + m^2) \Rightarrow 4 = 5 + 5m^2 \Rightarrow 5m^2 = -1 \Rightarrow m^2 = -\frac{1}{5}$<br><br>Phương trình vô nghiệm thực, không tồn tại$m$thỏa mãn. Đường thẳng$y = mx+2$không thể tiếp xúc với đường tròn$(C)$.

5. Công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Phương trình đường tròn tâm$I(a; b)$bán kính$R$:
  $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$
• Công thức khoảng cách từ điểm $M(x_0, y_0)$ đến đường thẳng$Ax + By + C = 0$:
  $d(M, d) = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$
• Tiêu chuẩn xác định vị trí tương đối:
  -$d(I, d) > R$: D nằm ngoài (không cắt)
  -$d(I, d) = R$: D tiếp xúc (1 điểm chung)
  -$d(I, d) < R$: D cắt (2 điểm chung)

6. Các biến thể của bài toán và điều chỉnh chiến lược

• Đường thẳng chứa tham số (tìm giá trị tham số để thỏa mãn điều kiện vị trí tương đối).
• Đề bài cho tiếp tuyến xuất phát từ 1 điểm ngoài đường tròn, yêu cầu tính độ dài tiếp tuyến (sử dụng công thức $L = \sqrt{OI^2 - R^2}$)
• Tìm tọa độ giao điểm giữa đường thẳng và đường tròn (giải hệ phương trình khi$d(I, d) < R$)

7. Bài tập mẫu có giải chi tiết

Bài tập: Cho đường tròn$(C): (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 13$và đường thẳng$d: x + 2y - 8 = 0$. Hãy xác định vị trí tương đối của d và (C) và nếu chúng cắt nhau hãy tìm tọa độ giao điểm.

• Bước 1: Tâm $I(2; -3)$, $R = \sqrt{13}$.
• Bước 2: Tính khoảng cách từ $I$ đến$d$:
  
  $d(I, d) = \frac{|2 + 2 \cdot (-3) - 8|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{|2 -6 -8|}{\sqrt{5}} = \frac{|-12|}{\sqrt{5}} = \frac{12}{\sqrt{5}}$
  
  So sánh với $R = \sqrt{13}$, ta có $\left(\frac{12}{\sqrt{5}}\right)^2 = \frac{144}{5} = 28,8 > 13$, tức là $d(I, d) > R$. Do đó, đường thẳng d nằm ngoài đường tròn C, không cắt nhau.

Nếu thay đổi hệ số tự do$d: x + 2y + 1 = 0$, khi đó:

• Tính lại $d(I, d) = \frac{|2 + 2 \cdot (-3) + 1|}{\sqrt{5}} = \frac{|2 -6 + 1|}{\sqrt{5}} = \frac{|-3|}{\sqrt{5}} = \frac{3}{\sqrt{5}}$.
• $\left(\frac{3}{\sqrt{5}}\right)^2 = \frac{9}{5} = 1,8 < R^2 = 13$, do đó đường thẳng d cắt đường tròn C tại 2 điểm.
• Thay$x = -2y -1$vào phương trình đường tròn tìm$y$và suy ra$x$ để xác định giao điểm.

8. Bài tập luyện tập

• a) Cho$(C): x^2 + (y - 2)^2 = 9$và đường thẳng$d: 2x - y + 1 = 0$. Xác định vị trí tương đối và tìm giao điểm (nếu có).
• b) Cho đường tròn$(C): (x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 16$và đường thẳng$d: y = x + m$. Tìm$m$ để d tiếp xúc với C.
• c) Cho điểm$A(5;0)$. Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn$(C): x^2 + y^2 = 9$ đi qua$A$.

9. Mẹo và lưu ý khi giải loại bài toán này

• Hãy viết đúng và đầy đủ phương trình đường thẳng, đường tròn trước khi tính toán.
• Luôn kiểm tra kỹ thứ tự dấu (trong khoảng cách luôn lấy trị tuyệt đối).
• Khi bài toán chứa tham số, hãy giải bất phương trình theo quy tắc so sánh$d(I, d)$với$R$.
• Nếu bài yêu cầu tìm giao điểm, đừng quên thay tọa độ từ phương trình d vào phương trình tròn (giải hệ).
• Tránh nhầm lẫn giữa$d(I, d) = R$(tiếp xúc) và $d(I, d) < R$(cắt nhau).