Chiến lược giải quyết bài toán: Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

1. Giới thiệu về bài toán "Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác"

Trong chương trình Toán lớp 9, việc xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là một trong những kỹ năng hình học trọng yếu và xuất hiện thường xuyên trong các đề thi, kiểm tra cũng như các bài tập vận dụng. Kỹ năng này không chỉ giúp học sinh hiểu sâu hơn về tính chất hình học của tam giác và đường tròn, mà còn tạo nền tảng cho các kiến thức nâng cao hơn.

2. Đặc điểm của bài toán xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp

• Đối tượng chính: Tam giác bất kỳ với ba đỉnh xác định.
• Yêu cầu cơ bản: Tìm toạ độ tâm (O) và bán kính (R) của đường tròn ngoại tiếp.
• Thường cho toạ độ các đỉnh, hoặc các kích thước liên quan của tam giác.
• Thông qua hệ thức hình học (giao điểm ba trục trung trực, khoảng cách từ tâm đến các đỉnh là bằng nhau,...).

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

1. Nhận biết loại dữ kiện: toạ độ hay độ dài cạnh, góc, v.v.
2. Vẽ hình chính xác, xác định ba cạnh và ba đỉnh tam giác.
3. Áp dụng lý thuyết: Tâm đường tròn ngoại tiếp chính là giao điểm ba đường trung trực của tam giác.
4. Tìm phương trình trung trực hai cạnh bất kỳ và xác định toạ độ giao điểm (tâm ngoại tiếp).
5. Tính bán kính bằng khoảng cách từ tâm ngoại tiếp đến một trong các đỉnh (R = OA = OB = OC).

4. Các bước chi tiết giải bài toán qua ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có A(1,2), B(4,6), C(5,2). Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

1. Bước 1: Tính trung điểm và tìm phương trình trung trực của cạnh AB.
2. Trung điểm M của AB: M =$\left(\frac{1+4}{2}, \frac{2+6}{2}\right) = (2.5, 4)$.
3. Tính vector AB:$\vec{AB} = (4-1, 6-2) = (3,4)$, nên vector pháp tuyến là $(-4, 3)$.
4. Phương trình đường trung trực AB:
5. $-4(x-2.5) + 3(y-4) = 0 \Leftrightarrow -4x + 3y = -1$
6. Bước 2: Tính trung điểm và phương trình trung trực BC.
7. Trung điểm N của BC: N =$\left(\frac{4+5}{2}, \frac{6+2}{2}\right) = (4.5, 4)$.
8. Vector BC:$(5-4, 2-6)=(1, -4)$, pháp tuyến$(4, 1)$.
9. Phương trình trung trực BC:
10. $4(x-4.5) + 1(y-4) = 0 \Leftrightarrow 4x + y = 22$
11. Bước 3: Giải hệ:
12. $$\begin{cases} -4x + 3y = -1 \\ 4x + y = 22 \\\end{cases}$$
13. Cộng hai phương trình:$(-4x + 4x )+ (3y + y) = -1 + 22 \Rightarrow 4y = 21 \Rightarrow y = 5.25$.
14. Thay vào$4x + y = 22 \Rightarrow 4x = 22 - 5.25 = 16.75 \Rightarrow x = 4.1875$.
15. Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp:$O(4.1875; 5.25)$.
16. Bước 4: Tính bán kính $R = OA = \sqrt{(4.1875 - 1)^2 + (5.25 - 2)^2}$
17. $R = \sqrt{(3.1875)^2 + (3.25)^2} \approx \sqrt{10.16 + 10.56} = \sqrt{20.72} \approx 4.55$

Kết luận: Tâm ngoại tiếp là $O(4.19; 5.25)$(làm tròn đến hai chữ số thập phân), bán kính$R \approx 4.55$.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Tâm đường tròn ngoại tiếp là giao điểm ba đường trung trực các cạnh.
• Khoảng cách từ tâm đến mỗi đỉnh đều bằng bán kính.
• Cách viết phương trình đường trung trực đoạn$AB$khi A$(x_1, y_1)$, B$(x_2, y_2)$:
• $(x_2 - x_1)(x - x_M) + (y_2 - y_1)(y - y_M) = 0$
  Trong đó $M$là trung điểm$AB$.
• Tìm tâm bằng giải hệ hai trung trực bất kỳ.
• Bán kính: $R = \sqrt{(x_O - x_A)^2 + (y_O - y_A)^2}$.
• Trường hợp biết độ dài các cạnh$a, b, c$:$R = \frac{abc}{4S}$, với$S$diện tích tam giác$ABC$.

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

• Nếu cho tọa độ ba đỉnh: làm theo các bước ở trên để viết phương trình trung trực và giải hệ.
• Nếu cho độ dài ba cạnh: Sử dụng công thức bán kính ngoại tiếp $R = \frac{abc}{4S}$, với $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, $p = \frac{a+b+c}{2}$.
• Nếu cho tam giác cân, đều,…: Sử dụng tính đối xứng để rút gọn bước tính toán.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài toán: Cho tam giác$ABC$có $A(0,0)$,$B(4,0)$,$C(0,3)$. Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác$ABC$.

1. Trung điểm$M$của AB:$(2,0)$, vector$AB = (4,0)$, pháp tuyến$(0,4)$.
2. Trung trực AB:$y = 0$ đi qua trung điểm$(2,0)$nên$x = 2$.
3. Trung điểm$N$của AC:$(0,1.5)$, vector$AC = (0,3)$, pháp tuyến$(3,0)$.
4. Trung trực AC:$x = 0$ đi qua$(0,1.5)$là $y = 1.5$.
5. Giao điểm$O(2,1.5)$.
6. R = $OA = \sqrt{(2-0)^2 + (1.5-0)^2} = \sqrt{4 + 2.25} = \sqrt{6.25} = 2.5$.

Vậy tâm ngoại tiếp$O(2, 1.5)$, bán kính$R = 2.5$.

8. Bài tập thực hành để học sinh tự làm

a) Cho tam giác$A(2,1)$,$B(6,5)$,$C(8,1)$. Tìm tâm$O$và bán kính$R$ đường tròn ngoại tiếp.

b) Cho tam giác có cạnh$a = 7\,cm$,$b = 8\,cm$,$c = 9\,cm$. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp.

c) Cho tam giác đều cạnh$a = 4\,cm$. Xác định bán kính đường tròn ngoại tiếp.

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• Luôn nhớ tâm ngoại tiếp là giao điểm trung trực, không phải trung tuyến hay phân giác.
• Kiểm tra đúng công thức trung trực và nhớ vector pháp tuyến phải vuông góc với cạnh.
• Đối với bài toán tọa độ, cần cẩn thận khi tính trung điểm, vector, và giải hệ phương trình.
• Kiểm tra lại cuối cùng: Khoảng cách từ tâm đến các đỉnh phải bằng nhau.

Hy vọng với chiến lược trên, các bạn sẽ nắm vững cách giải bài toán xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác và tự tin hơn khi gặp dạng toán này trong các bài kiểm tra!