Chiến lược giải bài toán xác định tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác lớp 9

1. Giới thiệu về dạng bài toán

- Đặc điểm của bài toán Xác định tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác: tìm giao điểm của các tia phân giác góc và tính độ dài bán kính đường tròn nội tiếp.

- Tần suất xuất hiện: thường gặp trong đề thi giữa kì, cuối kì và các đề kiểm tra định kỳ.

- Tầm quan trọng trong chương trình lớp 9: chủ đề cơ bản trong hình học tam giác, luyện kỹ năng vận dụng định lý phân giác và công thức tính diện tích.

- Cơ hội luyện tập miễn phí với hơn 50 bài tập.

2. Phân tích đặc điểm bài toán

2.1 Nhận biết dạng bài

- Đề bài thường nhắc “đường tròn nội tiếp”, “tâm I”, “bán kính r”.

- Từ khóa: phân giác góc, tiếp xúc, khoảng cách từ tâm đến cạnh.

- Phân biệt với đường tròn ngoại tiếp: không phải tìm giao điểm đường trung trực mà tìm giao điểm phân giác.

2.2 Kiến thức cần thiết

- Định lý phân giác góc: tia phân giác chia cạnh đối diện theo tỉ lệ hai cạnh kề.

- Công thức tính bán kính nội tiếp:$r = \frac{2S}{P}$, trong đó $S$là diện tích tam giác,$P$là chu vi tam giác.

- Kỹ năng tính diện tích tam giác bằng nửa tích đáy nhân chiều cao hoặc công thức Heron: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$với$p = \frac{a+b+c}{2}$.

- Liên hệ với chủ đề: phân giác góc, diện tích tam giác, mối quan hệ giữa bán kính nội tiếp và diện tích.

3. Chiến lược giải quyết tổng thể

3.1 Bước 1: Đọc và phân tích đề bài

- Đọc kỹ, gạch chân từ khóa như “tâm đường tròn nội tiếp” hay “bán kính”.

- Xác định các dữ liệu cho sẵn (độ dài cạnh, góc, diện tích).

- Xác định yêu cầu: tìm giao điểm phân giác (tâm I) và tính r.

3.2 Bước 2: Lập kế hoạch giải

- Chọn phương pháp: phân giác góc để xác định tâm, công thức$r=\tfrac{2S}{P}$ để tính bán kính.

- Sắp xếp bước: (1) Vẽ hình, (2) Kẻ phân giác, (3) Tính S, P, (4) Tính r.

- Dự đoán kết quả: kiểm tra xem r có hợp lý (r nhỏ hơn bán kính ngoại tiếp).

3.3 Bước 3: Thực hiện giải toán

- Áp dụng định lý phân giác để xác định tâm I giao của hai tia phân giác.

- Tính diện tích S (nửa tích hoặc Heron), tính chu vi P.

- Tính$r = \frac{2S}{P}$, kiểm tra tính hợp lý.

4. Các phương pháp giải chi tiết

4.1 Phương pháp cơ bản

- Tiếp cận truyền thống: vẽ, kẻ phân giác, tính S và P rồi áp dụng công thức.

- Ưu điểm: rõ ràng, dễ hiểu; Hạn chế: tốn thời gian vẽ và tính toán.

- Sử dụng khi dữ liệu cho số đo độ dài hoặc góc rõ ràng.

4.2 Phương pháp nâng cao

- Kỹ thuật giải nhanh: dùng công thức tọa độ trọng tâm góc cân hoặc công thức tọa độ tâm đường tròn nội tiếp:$I\bigl(\tfrac{a x_A + b x_B + c x_C}{a+b+c},\tfrac{a y_A + b y_B + c y_C}{a+b+c}\bigr)$.

- Tối ưu hóa tính S và P bằng công thức Heron khi có ba cạnh, hoặc dùng tích đáy–chiều cao khi dễ tính.

- Mẹo nhớ: r = đường cao thu gọn trung bình nhân 2 chia chu vi.

5. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

5.1 Bài tập cơ bản

Đề bài: Cho tam giác$ABC$có $AB=5$,$BC=12$,$CA=13$. Tìm tâm và bán kính đường tròn nội tiếp.

Phân tích: Tính $p=\tfrac{5+12+13}{2}=15$, $S=\sqrt{15 \cdot 10 \cdot 3 \cdot 2}=30$, $r=\tfrac{2S}{P}=\tfrac{60}{30}=2$.

Lời giải: Tâm$I$là giao điểm hai tia phân giác, bán kính$r=2$.

5.2 Bài tập nâng cao

Đề bài: Cho$A(0,0)$,$B(4,0)$,$C(0,3)$. Tìm tọa độ tâm$I$và bán kính$r$ đường tròn nội tiếp.

Giải cách 1: tính độ dài cạnh$a=BC=5$,$b=CA=3$,$c=AB=4$,$I(\tfrac{5 \cdot 0+3 \cdot 4+4 \cdot 0}{12},\tfrac{5 \cdot 0+3 \cdot 0+4 \cdot 3}{12})=(1,1)$,$S=6$,$r=\tfrac{2 \cdot 6}{12}=1$.

Giải cách 2: kẻ phân giác, dựng tam giác vuông phụ để xác định$I$và $r$tương tự.

So sánh: cách tọa độ nhanh, cách dựng hình trực quan.

6. Các biến thể thường gặp

- Tìm bán kính nội tiếp khi biết góc và bán kính ngoại tiếp.

- Xác định khoảng cách từ tâm đến một cạnh cụ thể.

- Bài toán kết hợp với đường tròn ngoại tiếp, các đường đặc biệt trong tam giác.

7. Lỗi phổ biến và cách tránh

7.1 Lỗi về phương pháp

- Chọn sai phương pháp: dùng trung trực thay phân giác → sai tâm.

- Áp dụng công thức Heron không đúng khi tam giác không hợp lệ.

7.2 Lỗi về tính toán

- Sai sót trong tính$p$hoặc$S$, dẫn đến$r$sai.

- Lỗi làm tròn: nên giữ căn thức đến khi kết quả cuối cùng.

8. Luyện tập miễn phí ngay

- Truy cập hơn 50 bài tập cách giải Xác định tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác miễn phí.

- Không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập ngay lập tức.

- Theo dõi tiến độ và cải thiện kỹ năng giải toán.

9. Kế hoạch luyện tập hiệu quả

- Tuần 1: Ôn định lý phân giác và công thức tính S, P.

- Tuần 2: Luyện 20 bài cơ bản, ghi nhớ quy trình 3 bước.

- Tuần 3: Luyện 20 bài nâng cao, áp dụng tọa độ hoặc hình vẽ nhanh.

- Tuần 4: Đề tổng hợp, kiểm tra tiến bộ và rút kinh nghiệm.