Chiến lược và Cách giải bài toán Hình vành khuyên lớp 9: Hướng dẫn chi tiết

1. Giới thiệu về bài toán Hình vành khuyên và ý nghĩa thực tiễn

Bài toán Hình vành khuyên là một dạng phổ biến trong chương trình Toán 9, thường gặp ở các đề kiểm tra cũng như kỳ thi. Vành khuyên là phần hình phẳng giới hạn bởi hai đường tròn đồng tâm có bán kính khác nhau. Các bài toán về hình này không chỉ giúp học sinh rèn luyện kỹ năng tính toán diện tích, chu vi mà còn phát triển tư duy hình học không gian – nền tảng quan trọng cho các cấp học cao hơn và áp dụng thực tiễn (ví dụ: thiết kế vòng đệm, bánh xe, mặt bàn...).

2. Đặc điểm nhận diện và phân tích dạng bài toán Hình vành khuyên

Các đặc điểm nhận biết:

• Có hai đường tròn đồng tâm ($O$) với bán kính lần lượt là $R$(lớn) và $r$(nhỏ),$R > r$.
• Phần hình được xét là phần giới hạn giữa hai đường tròn (không tính phần bên trong đường tròn nhỏ).
• Bài toán yêu cầu tính diện tích vành khuyên, chu vi biên giới hạn, hoặc xử lý các phần quạt tròn/vành khuyên có góc ở tâm khác$360^ext{o}$.

Phân tích dạng bài toán:

• Dạng cơ bản: Tính diện tích và chu vi một hình vành khuyên biết bán kính hai đường tròn.
• Dạng nâng cao: Cho biết diện tích, tìm bán kính; kết hợp vành khuyên với các hình khác; tích hợp bài toán tư duy ngược hoặc ẩn số.
• Dạng phần quạt vành khuyên: chỉ xét một phần hình tròn ứng với góc ở tâm nhỏ hơn$360^ext{o}$.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán Hình vành khuyên

Một số bước tổng quát giúp giải quyết nhanh bài toán Hình vành khuyên như sau:

• Hiểu rõ đề, xác định phần hình phẳng cần tính và những dữ kiện đã cho.
• Vẽ hình chính xác, ký hiệu các bán kính$R$,$r$hoặc góc ở tâm (nếu là hình quạt).
• Nhớ các công thức tính diện tích, chu vi liên quan.
• Vẽ phụ hình nếu cần – tách phần quạt, xác định ẩn số hoặc liên hệ vành khuyên với các hình học khác.
• Bình tĩnh, lập kế hoạch giải từng bước rõ ràng.

4. Các bước giải bài toán Hình vành khuyên – Ví dụ minh họa

1. Bước 1: Vẽ hình ra giấy và ghi chú các yếu tố $O$,$R$,$r$, các đường tròn, ghi chú đề bài (giá trị R, r hoặc góc ở tâm).
2. Bước 2: Nhớ và viết công thức tổng quát:

• Diện tích vành khuyên (nếu là trọn vẹn, tức$360^ext{o}$):

• Chu vi hình vành khuyên:

$C = ext{Chu vi đường tròn lớn} + ext{Chu vi đường tròn nhỏ} = 2\pi R + 2\pi r = 2\pi (R + r)$

Nếu là phần quạt vành khuyên ứng với góc ở tâm$\alpha$($0 < \alpha < 360^\text{o}$):

$S = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi (R^2 - r^2)$

Ví dụ minh họa:

Cho hai đường tròn đồng tâm$O$,$R = 5\ \text{cm}$và $r = 3\ \text{cm}$. Tính diện tích và chu vi vành khuyên.

Giải:

1. Diện tích:

$S = \pi (5^2 - 3^2) = \pi (25 - 9) = 16\pi \ (cm^2)$

• Chu vi:

$C = 2\pi (5 + 3) = 16\pi \ (cm)$

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Diện tích hình tròn:$S = \pi r^2$
• Chu vi hình tròn:$C = 2\pi r$
• Đối với vành khuyên:$S = \pi (R^2 - r^2)$;$C = 2\pi (R + r)$
• Vành khuyên hình quạt (góc ở tâm$\alpha$):$S = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi (R^2 - r^2)$

6. Các biến thể bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

Một số biến thể thường gặp:

• Biết diện tích, yêu cầu tìm bán kính$R$hoặc$r$. Khi đó lập phương trình:$\pi(R^2 - r^2) = S$(hoặc bài toán ngược tương tự).
• Cho các đại lượng tỉ lệ (bán kính tỷ lệ, diện tích tỷ lệ), cần vận dụng kiến thức tỷ số diện tích hoặc chu vi.
• Bài toán gắn thực tế: diện tích trồng cỏ quanh hồ, sơn vòng quanh tượng đài... phải chú ý tới đơn vị tính.

Điều chỉnh chiến lược:

• Phân tích dữ kiện tương ứng dạng bài; nếu dữ kiện thiếu hãy biến đổi công thức tìm đại lượng còn thiếu, chẳng hạn sử dụng tỷ số bán kính hoặc diện tích.
• Tách nhỏ bài toán – chuyển sang hình học tương ứng nếu đề có yêu cầu đặc biệt (hình chữ nhật, tam giác, hình tròn lồng nhau...).

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết theo từng bước

Bài tập mẫu 1:

Hình vành khuyên có hai đường tròn đồng tâm, bán kính$R = 8\ \text{cm}$,$r = 5\ \text{cm}$.

1. Tính diện tích và chu vi hình vành khuyên.

Giải:

1. Diện tích:

$S = \pi (8^2 - 5^2) = \pi (64 - 25) = 39\pi \ (cm^2)$

• Chu vi:

$C = 2\pi (8 + 5) = 26\pi \ (cm)$

Bài tập mẫu 2:

Một hình vành khuyên có diện tích$62.8\ \text{cm}^2$, bán kính đường tròn lớn là $R = 7\ \text{cm}$. Hỏi bán kính$r$của đường tròn nhỏ bằng bao nhiêu? (Lấy$\pi \approx 3.14$)

Giải:

1. Gọi$r$là bán kính đường tròn nhỏ. Ta có:

$S = \pi (R^2 - r^2) \implies 62.8 = 3.14 (49 - r^2)$

• Suy ra:

8. Bài tập thực hành tự luyện

1. Một hình vành khuyên có bán kính hai đường tròn đồng tâm lần lượt là $R = 10\ \text{cm}$,$r = 6\ \text{cm}$. Tính diện tích và chu vi hình vành khuyên.
2. Một hình vành khuyên có diện tích$50.24\ \text{cm}^2$và bán kính trong$r = 4\ \text{cm}$, hãy tính bán kính ngoài. (Lấy$\pi \approx 3.14$)
3. Phần vành khuyên tạo bởi hai đường tròn đồng tâm bán kính$R = 7$cm,$r = 5$cm, nhưng chỉ lấy phần hình quạt ứng với góc ở tâm$120^{\circ}$. Tính diện tích phần vành khuyên này.

Học sinh nên làm thử rồi so sánh với đáp án:

• Bài 1:$S = 64\pi$(cm$^2$),$C = 32\pi$(cm)
• Bài 2:$R = 6$(cm)
• Bài 3:$S = 8\pi$(cm$^2$)

9. Các mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• Ghi rõ đơn vị, kiểm tra lại đáp số (cm, cm$^2$, m, m$^2$...) sau mỗi bài.
• Chú ý lấy đúng bán kính tương ứng:$R$(lớn) –$r$(nhỏ) khi thay số.
• Nếu lấy$\pi \approx 3.14$, phải ghi rõ và dùng nhất quán đến hết bài.
• Nếu là hình quạt vành khuyên, phải nhân với tỷ lệ góc ở tâm so với$360^\circ$.
• Bình tĩnh lập phương trình với bài ngược: chuyển vế, rút ẩn rõ ràng.
• Vẽ hình minh họa là bắt buộc để tránh nhầm
• Kiểm tra lại các phép tính cộng, trừ, nhân, chia – đặc biệt với số mũ.