Cộng hoặc trừ hai phương trình: Khái niệm, phương pháp và ứng dụng cho học sinh lớp 9
1. Giới thiệu: Cộng hoặc trừ hai phương trình là gì và vì sao quan trọng?
Trong chương trình toán học lớp 9, một trong những kỹ năng quan trọng nhất khi giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là nắm vững phương pháp cộng hoặc trừ hai phương trình. Đây không chỉ là một công cụ mạnh mẽ để giải các hệ phương trình mà còn giúp học sinh phát triển tư duy logic, rèn luyện khả năng biến đổi linh hoạt các biểu thức toán học. Phương pháp này rất quan trọng, thường xuất hiện trong các đề kiểm tra, thi học kỳ và luyện thi vào lớp 10.
2. Định nghĩa chính xác về cộng hoặc trừ hai phương trình
Cộng hoặc trừ hai phương trình là quá trình lấy từng vế (vế trái với vế trái, vế phải với vế phải) của hai phương trình trong một hệ để thực hiện phép cộng hoặc phép trừ, từ đó tạo ra một phương trình mới. Nếu biết cách này, ta có thể làm cho một ẩn bị triệt tiêu, giúp đơn giản hoá hệ phương trình và tìm ra nghiệm dễ dàng hơn.
3. Các bước giải thích chi tiết với ví dụ minh họa
Giả sử ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn như sau:
2x + 3y = 7 \quad (1) \\
4x - 3y = 5 \quad (2)
\end{cases}
Bước 1: Quan sát hệ số củavà trong cả hai phương trình. Khi thấy hệ số củalà (ở phương trình 1) và (ở phương trình 2), nếu cộng hai phương trình lại với nhau thì , tức là sẽ bị triệt tiêu.
Bước 2: Cộng hai phương trình:
& (2x + 3y) + (4x - 3y) = 7 + 5 \\
&\Rightarrow (2x + 4x) + (3y - 3y) = 12 \\
&\Rightarrow 6x = 12 \\
&\Rightarrow x = 2
\end{aligned}
Bước 3: Thayvào một trong hai phương trình để tìm. Chọn phương trình (1):
2x + 3y = 7 \\
2 \times 2 + 3y = 7 \\
4 + 3y = 7 \\
3y = 3 \\
y = 1
Vậy nghiệm của hệ phương trình là ,.
Nếu hệ số chưa thuận tiện để triệt tiêu, ta có thể nhân một hoặc cả hai phương trình với một số thích hợp trước khi cộng hoặc trừ. Hãy xem ví dụ tiếp theo:
3x + 2y = 8 \quad (1) \\
2x - 3y = -1 \quad (2)
\end{cases}
Để triệt tiêu, ta quy đồng hệ số thànhbằng cách nhân phương trình (1) vớivà phương trình (2) với:
& (1) \times 2: 6x + 4y = 16 \\
& (2) \times 3: 6x - 9y = -3
\end{aligned}
Trừ phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất (để triệt tiêu):
(6x - 9y) - (6x + 4y) = -3 - 16 \\
6x - 9y - 6x - 4y = -19 \\
-13y = -19 \\
y = \frac{19}{13}
Sau đó, thayvào một phương trình gốc để tìm.
4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng
5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác
Phương pháp cộng hoặc trừ hai phương trình liên quan mật thiết đến các kiến thức cơ bản về đại số như quy tắc chuyển vế, nhân phân phối, rút gọn biểu thức và đặc biệt là giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Đây cũng là nền tảng để học sinh tiếp thu các kiến thức nâng cao về giải hệ phương trình tuyến tính ở cấp học cao hơn.
6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết
- Bài tập 1: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng hoặc trừ:
5x + 2y = 4 \\
5x - 2y = 8
\end{cases}
Giải:
\text{Cộng hai phương trình:} \\ (5x + 2y) + (5x - 2y) = 4 + 8 \\ 10x = 12 \\x = 1.2 \\ \text{Thay vào phương trình đầu:} \\ 5x + 2y = 4 \\ 5 \times 1.2 + 2y = 4 \\ 6 + 2y = 4 \\ 2y = -2 \\y = -1
Đáp số:,.
- Bài tập 2: Giải hệ phương trình sau:
x + 2y = 5 \\
2x - y = 1
\end{cases}
Nhân phương trình (1) với:
2x + 4y = 10 \\
2x - y = 1
Trừ phương trình thứ hai cho phương trình mới:
(2x + 4y) - (2x - y) = 10 - 1 \\ 2x + 4y - 2x + y = 9 \\ 5y = 9 \\y = 1.8 \\
\text{Thay vào (1):} \\x + 2y = 5 \\x + 2 \times 1.8 = 5 \\x + 3.6 = 5 \\x = 1.4
Đáp số:,.
7. Các lỗi thường gặp và cách tránh
8. Tóm tắt và các điểm chính cần ghi nhớ
- Phương pháp cộng hoặc trừ hai phương trình giúp giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn nhanh chóng, hiệu quả.
- Cần quan sát hệ số các ẩn để chọn phép cộng hoặc trừ phù hợp.
- Nếu chưa thuận tiện, hãy nhân các phương trình với số thích hợp để triệt tiêu ẩn.
- Luôn kiểm tra lại nghiệm bằng cách thay vào cả hai phương trình ban đầu.
- Cẩn thận với dấu và hệ số trong quá trình thực hiện phép biến đổi.
- Nắm vững kỹ năng này sẽ giúp học sinh chinh phục tốt các bài toán về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn trong các bài kiểm tra, thi cử và là nền tảng cho học tập cao hơn.
Danh mục:
Tác giả
Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.
Theo dõi chúng tôi tại