Blog

Cộng hoặc trừ hai phương trình: Khái niệm, phương pháp và ứng dụng cho học sinh lớp 9

T
Tác giả
8 phút đọc
Chia sẻ:
9 phút đọc

1. Giới thiệu: Cộng hoặc trừ hai phương trình là gì và vì sao quan trọng?

Trong chương trình toán học lớp 9, một trong những kỹ năng quan trọng nhất khi giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là nắm vững phương pháp cộng hoặc trừ hai phương trình. Đây không chỉ là một công cụ mạnh mẽ để giải các hệ phương trình mà còn giúp học sinh phát triển tư duy logic, rèn luyện khả năng biến đổi linh hoạt các biểu thức toán học. Phương pháp này rất quan trọng, thường xuất hiện trong các đề kiểm tra, thi học kỳ và luyện thi vào lớp 10.

2. Định nghĩa chính xác về cộng hoặc trừ hai phương trình

Cộng hoặc trừ hai phương trình là quá trình lấy từng vế (vế trái với vế trái, vế phải với vế phải) của hai phương trình trong một hệ để thực hiện phép cộng hoặc phép trừ, từ đó tạo ra một phương trình mới. Nếu biết cách này, ta có thể làm cho một ẩn bị triệt tiêu, giúp đơn giản hoá hệ phương trình và tìm ra nghiệm dễ dàng hơn.

3. Các bước giải thích chi tiết với ví dụ minh họa

Giả sử ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn như sau:

\begin{cases}
2x + 3y = 7 \quad (1) \\
4x - 3y = 5 \quad (2)
\end{cases}

Bước 1: Quan sát hệ số củaxxyytrong cả hai phương trình. Khi thấy hệ số củayy+3+3(ở phương trình 1) và 3-3(ở phương trình 2), nếu cộng hai phương trình lại với nhau thì 3y+(3y)=03y + (-3y) = 0, tức là yysẽ bị triệt tiêu.

Bước 2: Cộng hai phương trình:

\begin{aligned}
& (2x + 3y) + (4x - 3y) = 7 + 5 \\
&\Rightarrow (2x + 4x) + (3y - 3y) = 12 \\
&\Rightarrow 6x = 12 \\
&\Rightarrow x = 2
\end{aligned}

Bước 3: Thayx=2x = 2vào một trong hai phương trình để tìmyy. Chọn phương trình (1):

2x + 3y = 7 \\ 
2 \times 2 + 3y = 7 \\
4 + 3y = 7 \\
3y = 3 \\
y = 1

Vậy nghiệm của hệ phương trình là x=2x = 2,y=1y = 1.

Nếu hệ số chưa thuận tiện để triệt tiêu, ta có thể nhân một hoặc cả hai phương trình với một số thích hợp trước khi cộng hoặc trừ. Hãy xem ví dụ tiếp theo:

\begin{cases}
3x + 2y = 8 \quad (1) \\
2x - 3y = -1 \quad (2)
\end{cases}

Để triệt tiêuxx, ta quy đồng hệ số xxthành66bằng cách nhân phương trình (1) với22và phương trình (2) với33:

\begin{aligned}
& (1) \times 2: 6x + 4y = 16 \\
& (2) \times 3: 6x - 9y = -3
\end{aligned}

Trừ phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất (để triệt tiêuxx):

(6x - 9y) - (6x + 4y) = -3 - 16 \\
6x - 9y - 6x - 4y = -19 \\
-13y = -19 \\
y = \frac{19}{13}

Sau đó, thayyyvào một phương trình gốc để tìmxx.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

  • Nếu hệ số của một ẩn tại hai phương trình đối nhau (ví dụ:aaa-a), nên cộng hai phương trình để triệt tiêu ẩn đó.
  • Nếu cùng dấu, nên trừ hai phương trình với nhau để triệt tiêu ẩn.
  • Nếu chưa đồng bậc, cần nhân lên phù hợp để tạo hệ số thuận lợi triệt tiêu.
  • Cẩn thận khi dấu của các hệ số hoặc số hạng tự do thay đổi sau khi nhân hoặc trừ.
  • Luôn kiểm tra lại nghiệm bằng cách thay vào cả hai phương trình gốc.
  • 5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

    Phương pháp cộng hoặc trừ hai phương trình liên quan mật thiết đến các kiến thức cơ bản về đại số như quy tắc chuyển vế, nhân phân phối, rút gọn biểu thức và đặc biệt là giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Đây cũng là nền tảng để học sinh tiếp thu các kiến thức nâng cao về giải hệ phương trình tuyến tính ở cấp học cao hơn.

    6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

    • Bài tập 1: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng hoặc trừ:
    Hình minh họa: Đồ thị hai đường thẳng trong hệ phương trình 3x + 2y = 8 và 2x - 3y = -1, với giao điểm được tính là (22/13, 19/13)
    Đồ thị hai đường thẳng trong hệ phương trình 3x + 2y = 8 và 2x - 3y = -1, với giao điểm được tính là (22/13, 19/13)
    Hình minh họa: Đồ thị hai đường thẳng của hệ phương trình 2x + 3y = 7 và 4x - 3y = 5 trên hệ trục Oxy, đánh dấu và chú thích giao điểm (2, 1)
    Đồ thị hai đường thẳng của hệ phương trình 2x + 3y = 7 và 4x - 3y = 5 trên hệ trục Oxy, đánh dấu và chú thích giao điểm (2, 1)
    \begin{cases}
    5x + 2y = 4 \\
    5x - 2y = 8
    \end{cases}

    Giải:

    \text{Cộng hai phương trình:} \\ (5x + 2y) + (5x - 2y) = 4 + 8 \\ 10x = 12 \\x = 1.2 \\ \text{Thay vào phương trình đầu:} \\ 5x + 2y = 4 \\ 5 \times 1.2 + 2y = 4 \\ 6 + 2y = 4 \\ 2y = -2 \\y = -1

    Đáp số:x=1.2x = 1.2,y=1y = -1.

    • Bài tập 2: Giải hệ phương trình sau:
    \begin{cases}
    x + 2y = 5 \\
    2x - y = 1
    \end{cases}

    Nhân phương trình (1) với22:

    2x + 4y = 10 \\ 
    2x - y = 1

    Trừ phương trình thứ hai cho phương trình mới:

    (2x + 4y) - (2x - y) = 10 - 1 \\ 2x + 4y - 2x + y = 9 \\ 5y = 9 \\y = 1.8 \\ 
    \text{Thay vào (1):} \\x + 2y = 5 \\x + 2 \times 1.8 = 5 \\x + 3.6 = 5 \\x = 1.4

    Đáp số:x=1.4x = 1.4,y=1.8y = 1.8.

    7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

  • Nhân sai hệ số khi đồng bậc hoặc chuyển về cùng hệ số để triệt tiêu ẩn.
  • Không chú ý dấu++,-trong quá trình cộng/trừ, dẫn đến sai kết quả.
  • Quên kiểm tra lại nghiệm của hệ sau khi giải.
  • Không thực hiện cộng/trừ từng vế tương ứng (vế trái với vế trái, vế phải với vế phải).
  • Không rèn luyện tính cẩn thận trong trình bày phép biến đổi từng bước.
  • 8. Tóm tắt và các điểm chính cần ghi nhớ

    - Phương pháp cộng hoặc trừ hai phương trình giúp giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn nhanh chóng, hiệu quả.
    - Cần quan sát hệ số các ẩn để chọn phép cộng hoặc trừ phù hợp.
    - Nếu chưa thuận tiện, hãy nhân các phương trình với số thích hợp để triệt tiêu ẩn.
    - Luôn kiểm tra lại nghiệm bằng cách thay vào cả hai phương trình ban đầu.
    - Cẩn thận với dấu và hệ số trong quá trình thực hiện phép biến đổi.
    - Nắm vững kỹ năng này sẽ giúp học sinh chinh phục tốt các bài toán về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn trong các bài kiểm tra, thi cử và là nền tảng cho học tập cao hơn.

    T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".