Blog

Lớp 9

Công thức nghiệm của phương trình bậc hai – Giải thích chi tiết và hướng dẫn cho học sinh lớp 9

T
Tác giả
•
•6 phút đọc
Chia sẻ:
6 phút đọc

1. Giới thiệu về công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Trong chương trình Toán lớp 9, phương trình bậc hai là một nội dung kiến thức quan trọng và nền tảng cho các bậc học cao hơn cũng như trong giải toán thực tế. Hiểu và vận dụng thành thạo công thức nghiệm của phương trình bậc hai giúp các em chủ động trong việc giải các loại bài toán đa dạng, phát triển tư duy logic và giải quyết vấn đề.

2. Định nghĩa chính xác về công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Phương trình bậc hai một ẩn có dạng tổng quát là:

Trong đó,aa,bb,cclà các hằng số đã cho,a≠0a \neq 0và xxlà ẩn số cần tìm.

Công thức nghiệm của phương trình bậc hai là:

với Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac được gọi là biệt thức delta.

3. Giải thích từng bước sử dụng công thức nghiệm – Ví dụ minh họa

Hãy cùng tìm hiểu cụ thể cách giải một phương trình bậc hai bằng công thức nghiệm với một ví dụ minh họa.

Ví dụ: Giải phương trình2x2−4x+1=02x^2 - 4x + 1 = 0

  • Bước 1: Xác định các hệ số aa,bb,cc:
  • Ta có a=2a = 2,b=−4b = -4,c=1c = 1.
  • Bước 2: Tính biệt thứcΔ\Delta:
    • Bước 3: Áp dụng công thức nghiệm:

    Như vậy, phương trình có hai nghiệm: x1=1+22x_1 = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}, x2=1−22x_2 = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}.

    4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng công thức nghiệm

  • a.Δ>0\Delta > 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt
  • b.Δ=0\Delta = 0: Phương trình có nghiệm kép duy nhấtx=−b2ax = \frac{-b}{2a}
  • c.Δ<0\Delta < 0: Phương trình vô nghiệm thực (không có nghiệm trên tập số thực)

    • Lưu ý: KhiΔ<0\Delta < 0, các em không cần tìm nghiệm mà kết luận luôn phương trình vô nghiệm thực.

    5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

    Công thức nghiệm liên quan chặt chẽ tới khái niệm hàm số bậc hai, đồ thị Parabol, định lý Viet, và các dạng phương trình quy về bậc hai. Ngoài ra, trong các bài toán thực tế và nâng cao về Đại số lớp 9 cũng thường xuyên sử dụng công thức này để tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất, giải toán bằng cách lập phương trình hoặc bất phương trình.

    6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

    Bài 1: Giải phương trìnhx2−6x+9=0x^2 - 6x + 9 = 0

  • Xác địnha=1a = 1,b=−6b = -6,c=9c = 9
  • TínhΔ=(−6)2−4⋅1⋅9=36−36=0\Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0
  • Vì Δ=0\Delta = 0, phương trình có nghiệm képx=−(−6)2⋅1=3x = \frac{-(-6)}{2 \cdot 1} = 3

    • Đáp số:x=3x = 3(nghiệm kép)

    Bài 2: Giải phương trìnhx2+2x+5=0x^2 + 2x + 5 = 0

  • a=1a = 1,b=2b = 2,c=5c = 5
  • Δ=22−4⋅1⋅5=4−20=−16\Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16
  • Δ<0\Delta < 0nên phương trình vô nghiệm thực.

    • Đáp số: Không có nghiệm thực.

    Bài 3: Giải phương trình3x2+5x−2=03x^2 + 5x - 2 = 0

  • a=3a = 3,b=5b = 5,c=−2c = -2
  • Δ=52−4⋅3⋅(−2)=25+24=49\Delta = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49
  • Δ>0\Delta > 0nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

    • Đáp số:x1=13x_1 = \frac{1}{3},x2=−2x_2 = -2

    7. Các lỗi thường gặp và cách phòng tránh

  • Nhầm dấu khi tính −b-b, Δ\sqrt{\Delta}, hoặc chia số.
  • Ghi nhầm hệ số aa,bb,cc, đặc biệt là dấu âm.
  • Quên điều kiệna≠0a \neq 0 đối với phương trình bậc hai.

    • Cách phòng tránh: Luôn viết rõ ràng từng bước, kiểm tra lại dấu phép tính và hệ số, chú ý điều kiện của phương trình và cẩn thận khi tính căn bậc hai, đảm bảo không bỏ qua những chi tiết nhỏ.

    8. Tóm tắt và điểm cần nhớ về công thức nghiệm phương trình bậc hai

    Phương trình bậc hai có dạngax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0(a≠0a \neq 0)
    Công thức nghiệm là x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, trong đó Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac
    Phương trình có hai nghiệm phân biệt khiΔ>0\Delta > 0, nghiệm kép khiΔ=0\Delta = 0, và vô nghiệm thực khiΔ<0\Delta < 0
    Luôn chú ý kỹ dấu, hệ số và thao tác căn số khi giải.
    Hiểu rõ công thức giúp vận dụng linh hoạt trong giải toán và ứng dụng thực tế.

    Thành thạo công thức nghiệm của phương trình bậc hai là hành trang không thể thiếu cho học sinh lớp 9 trong các kỳ kiểm tra, thi vào lớp 10 cũng như giải quyết tốt các bài toán thực tế.

    T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".