Đặc điểm nhận biết tiếp tuyến – Lý thuyết & Bài tập miễn phí lớp 9

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

- Khái niệm Đặc điểm nhận biết tiếp tuyến trong chương trình Toán lớp 9: dấu hiệu và điều kiện để xác định khi nào một đường thẳng tiếp xúc với đường tròn tại đúng một điểm duy nhất.
- Tại sao cần hiểu rõ khái niệm này: giúp các em nắm chắc lý thuyết tiếp tuyến, phân biệt tiếp tuyến với cát tuyến và secant, đồng thời áp dụng nhanh trong bài tập.
- Ứng dụng thực tế: trong thiết kế bánh xe, bản lề, quỹ đạo chuyển động, kiến trúc cầu đường... nơi cần xác định điểm tiếp xúc chính xác giữa đường thẳng và đường cong.
- Cơ hội luyện tập miễn phí với 50+ bài tập

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

- Định nghĩa: Đường thẳng$d$là tiếp tuyến của đường tròn$(O,r)$nếu hệ phương trình$\{(x-x_O)^2+(y-y_O)^2=r^2,\Ax+By+C=0\}$có nghiệm kép (chỉ một giao điểm).
- Tính chất chính:
• Tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc.
• Phương trình tiếp tuyến tại điểm$M(x_1,y_1)$trên$(x-x_O)^2+(y-y_O)^2=r^2$là $(x_1-x_O)(x-x_O)+(y_1-y_O)(y-y_O)=r^2.$

2.2 Công thức và quy tắc

- Điều kiện tiếp tuyến (phương trình dạng $y=mx+c$) với đường tròn tâm $(0,0)$, bán kính $r$: hệ phương trình $\{x^2+y^2=r^2,\ y=mx+c\}$có $\Delta=0\Leftrightarrow c^2=r^2(1+m^2)$.
- Khoảng cách từ tâm $(x_0,y_0)$ đến đường thẳng$Ax+By+C=0$là $d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$. Điều kiện tiếp tuyến: $d=r$.
- Cách ghi nhớ: liên hệ $\Delta=0$với tiếp xúc đơn; ghi nhớ công thức khoảng cách và công thức tiếp tuyến tại điểm.
- Biến thể: đường thẳng đứng$x=k$là tiếp tuyến khi$|k-x_0|=r$; tương tự với $y=k$.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Cho đường tròn $x^2+y^2=4$và đường thẳng$y=x+2\sqrt2$. Chứng minh đường thẳng này là tiếp tuyến của đường tròn.

Bước 1: Hệ phương trình $\{x^2+y^2=4,\ y=x+2\sqrt2\}$.
Bước 2: Thay $y=x+2\sqrt2$vào$x^2+y^2=4$ta được$2x^2+4\sqrt2x+4=0$.
Bước 3: Tính $\Delta=(4\sqrt2)^2-4 \cdot 2 \cdot 4=32-32=0$, có nghiệm kép nên đường thẳng là tiếp tuyến.

3.2 Ví dụ nâng cao

Cho đường tròn $(x-1)^2+(y-2)^2=5$và điểm$P(4,3)$nằm ngoài đường tròn. Tìm phương trình các tiếp tuyến đến đường tròn đi qua$P$.
• Gọi tiếp tuyến có hệ số góc $m$, dạng: $y-3=m(x-4)\Leftrightarrow mx-y-4m+3=0$.
• Khoảng cách từ tâm $(1,2)$đến đường thẳng là$\displaystyle d=\frac{|m \cdot 1-1 \cdot 2-4m+3|}{\sqrt{m^2+1}}=\frac{| -3m+1|}{\sqrt{m^2+1}}$.
• Điều kiện $d=\sqrt5$dẫn đến$(-3m+1)^2=5(m^2+1)\Leftrightarrow2m^2-3m-2=0 \Rightarrow m=2\text{hoặc}m=-\frac12$.
• Vậy hai tiếp tuyến: $y-3=2(x-4)$và $y-3=-\frac12(x-4)$.

4. Các trường hợp đặc biệt

- Đường thẳng đi qua tâm: không thể là tiếp tuyến (vuông góc tại một điểm nhưng giao nhiều điểm).
- Tiếp tuyến song song với trục tung: dạng$x=k$, tiếp xúc khi$|k-x_0|=r$.
- Trường hợp tiếp tuyến nằm ngang:$y=k$, tiếp xúc khi$|k-y_0|=r$.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

Lỗi về khái niệm:
- Hiểu sai định nghĩa tiếp tuyến, nhầm với cát tuyến.
- Nhầm hệ số góc hoặc công thức khoảng cách.
Cách tránh: luôn kiểm tra điều kiện$\Delta=0$hoặc khoảng cách bằng$r$.

Lỗi về tính toán:
- Sai sót khi tính$\Delta$, dấu trong căn.
- Quên nhân hệ số khi thay vào công thức.
Cách tránh: viết rõ từng bước, kiểm tra lại bằng phương pháp khoảng cách.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Truy cập 50+ bài tập Đặc điểm nhận biết tiếp tuyến miễn phí. Không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập ngay để nâng cao kỹ năng và theo dõi tiến độ học tập.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

- Tiếp tuyến là đường thẳng giao đường tròn tại đúng một điểm.
- Điều kiện: hệ phương trình có $\Delta=0$hoặc khoảng cách từ tâm đến đường thẳng bằng bán kính.
- Công thức quan trọng:$c^2=r^2(1+m^2)$và $d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$.
- Kiểm tra nhanh: tính $\Delta$, hoặc dùng công thức khoảng cách.
Lập kế hoạch ôn tập: xem lý thuyết, áp dụng ví dụ, làm đa dạng bài tập, tự kiểm tra kết quả.