Định nghĩa căn bậc ba của số thực: Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 9

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 9, khái niệm căn bậc ba của số thực là một trong những kiến thức quan trọng giúp các em mở rộng hiểu biết về phép khai phương. Việc nắm vững khái niệm này không chỉ hỗ trợ giải các bài toán rút gọn và phương trình chứa căn mà còn hình thành tư duy về mối quan hệ giữa phép nhân và phép khai căn.

Căn bậc ba của một số thực $x$ được định nghĩa là số thực$y$thỏa mãn$y^3 = x$. Khi đó, ta viết $y = \sqrt[3]{x}$. Khác với căn bậc hai, căn bậc ba của mọi số thực đều xác định và duy nhất.

Việc hiểu rõ căn bậc ba giúp các em giải nhanh các bài toán rút gọn biểu thức, phương trình chứa căn và ứng dụng trong hình học không gian khi tính thể tích khối chóp, khối trụ, khối hộp,...

Cơ hội luyện tập miễn phí với 50+ bài tập giúp các em củng cố và nâng cao kỹ năng làm bài.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

Định nghĩa: Cho mỗi số thực $x$, tồn tại duy nhất số thực $y$sao cho$y^3 = x$. Khi đó, $y$ được gọi là căn bậc ba của$x$, kí hiệu $y = \sqrt[3]{x}$.

Tính chất chính: Với mọi số thực $a, b$ta có:$\sqrt[3]{ab} = \sqrt[3]{a}\,\sqrt[3]{b},\quad \sqrt[3]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}\quad (b \neq 0).$

2.2 Công thức và quy tắc

- Công thức cơ bản: $\sqrt[3]{x^3} = x$với mọi$x$.

- Quy tắc nhân: $\sqrt[3]{a}\,\sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{ab}$.

- Quy tắc chia: $\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}} = \sqrt[3]{\frac{a}{b}}\quad (b \neq 0).$

Cách ghi nhớ công thức: Liên hệ với khái niệm phép lũy thừa$y^3 = x$, vì vậy căn bậc ba là phép lũy thừa với số mũ $\frac{1}{3}$.

Các biến thể: Khi biểu thức phức tạp hơn, lưu ý $\sqrt[3]{a+b} không bằng$\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}$\sqrt[3]{8} và$\sqrt[3]{-27}" data-math-type="inline"> undefined

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Ví dụ 1: Tính $\sqrt[3]{8} và$\sqrt[3]{-27}$ .

Lời giải: Gọi $y = \sqrt[3]{8}$, suy ra $y^3 = 8$nên$y = 2$. Tương tự với $y = \sqrt[3]{-27}$, ta có $y^3 = -27$nên$y = -3$.

Lưu ý: Căn bậc ba của số âm vẫn là số âm.

3.2 Ví dụ nâng cao

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức $\sqrt[3]{54}$.

Lời giải: $54 = 27 \cdot 2 nên$\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \cdot 2} = \sqrt[3]{27}\,\sqrt[3]{2} = 3\sqrt[3]{2}$.

Ví dụ 3: Giải phương trình $\sqrt[3]{x-1}+2=3$.

Lời giải: Đưa về dạng căn đơn: $\sqrt[3]{x-1} = 1, nâng cả hai vế lên mũ 3:$x-1 = 1^3 =1$, nên x = 2$.

4. Các trường hợp đặc biệt

Với $x=0$, $\sqrt[3]{0}=0$. Khi làm bài, tuyệt đối không bỏ sót trường hợp này.

Biểu thức chứa căn bậc ba của biểu thức chứa biến luôn xác định với mọi giá trị thực của biến.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

Nhầm lẫn căn bậc hai và căn bậc ba: Căn bậc hai chỉ xác định với số không âm, trong khi căn bậc ba xác định với mọi số thực.

Cho rằng $\sqrt[3]{a+b} = \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}$, đây là sai lầm cơ bản cần tránh.

5.2 Lỗi về tính toán

Sai sót khi rút gọn $\sqrt[3]{x^3}$do quên xét dấu của x. Thực ra với căn bậc ba luôn có $\sqrt[3]{x^3} = x$cho mọi$x$.

Phương pháp kiểm tra: Thay kết quả ngược vào biểu thức gốc để đảm bảo đúng.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Truy cập 50+ bài tập Định nghĩa căn bậc ba của số thực miễn phí, không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập ngay để nâng cao kỹ năng và theo dõi tiến độ học tập.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

- Cho mọi số thực $x$, $<br />=\sqrt[3]{x} là số thực duy nhất sao cho$(
)^3 = x$.

- Cô lập căn, nâng cả hai vế lên mũ 3 khi giải phương trình chứa căn bậc ba.

- Tránh nhầm lẫn công thức và luôn kiểm tra kết quả sau khi tính.

Lên kế hoạch ôn tập: xem lại lý thuyết, giải ví dụ mẫu và làm 5–10 bài tập mỗi ngày.