Blog

Định nghĩa phép quay – Giải thích chi tiết Toán lớp 9

T
Tác giả
6 phút đọc
Chia sẻ:
6 phút đọc

1. Giới thiệu về khái niệm phép quay và tầm quan trọng trong toán học lớp 9

Trong chương trình Hình học lớp 9, các phép dời hình như phép tịnh tiến, phép đối xứng, và đặc biệt là phép quay đóng vai trò then chốt trong việc phân tích hình học phẳng. Phép quay xuất hiện nhiều trong các bài toán về đa giác đều, quy tắc chuyển động, cũng như các bài toán thực tiễn về quay vật thể. Nắm vững khái niệm này giúp học sinh hiểu rõ bản chất của các hình ảnh chuyển động, đồng thời nâng cao tư duy logic và sáng tạo trong giải các bài toán hình học.

2. Định nghĩa chính xác phép quay

Định nghĩa:Trong mặt phẳng, phép quay tâmOO, góc quayhetahetalà một phép biến hình biến mỗi điểmMMthành điểmMM'sao cho:

  • 1.OM=OMO M = OM'(khoảng cách từ OO đếnMMOO đếnMM'không đổi);
  • 2.MOM=θ\angle MOM' = \theta, quay từ OOsangMMtheo chiều dương góc (chiều ngược kim đồng hồ) thì đượcMM'(nếuθ>0\theta > 0), còn nếuθ<0\theta < 0thì quay theo chiều ngược lại.
  • Ký hiệu:QO,θ(M)=MQ_{O,\theta}(M) = M'.

    3. Giải thích từng bước và ví dụ minh họa

    Để hiểu rõ phép quay, ta cùng xét các bước thực hiện phép quay tâmOO, góc quayθ\thetacho điểmMM:

  • Bước 1: Nối điểm tâmOOvới điểmMMvà đo khoảng cáchOM=rOM = r.
  • Bước 2: Kẻ cung tròn tâmOO, bán kínhOMOM.
  • Bước 3: Quay đoạn thẳngOMOMquanhOOmột gócθ\theta(theo chiều từ OMOM đếnOMOM'), điểm mà cung tròn cắt sẽ chính là MM'.
  • Ví dụ minh họa:

    Cho điểmO(0,0)O(0,0), điểmM(2,0)M(2,0). Thực hiện phép quay tâmOO, góc9090^\circ(hoặcπ2\frac{\pi}{2}rad).

    Áp dụng công thức biến đổi tọa độ:

    GọiM(x,y)M(x,y)M(x, y) \rightarrow M'(x', y')qua phép quay tâmO(0,0)O(0,0)gócθ\thetathì:

    x=xcosθysinθx' = x \cos \theta - y \sin \theta
    y=xsinθ+ycosθy' = x \sin \theta + y \cos \theta

    Vớix=2,y=0,θ=90=π2x = 2, y = 0, \theta = 90^\circ = \frac{\pi}{2}ta có:

    cos90=0\cos 90^\circ = 0, sin90=1\sin 90^\circ = 1

    <br/><br/>x=2×00×1=0<br/>y=2×1+0×0=2<br/><br/><br />\begin{align*}<br />x' & = 2 \times 0 - 0 \times 1 = 0 \\<br />y' & = 2 \times 1 + 0 \times 0 = 2<br />\\\end{align*}<br />

    VậyM(0,2)M'(0,2)là điểm thu được sau khi quayM(2,0)M(2,0)quanhO(0,0)O(0,0)90^\circθ=0\theta = 0^\circ, mọi điểm nằm nguyên vẹn tại vị trí cũ (phép đồng nhất).

  • Nếuθ=180\theta = 180^\circ, mỗi điểm đối xứng qua tâmOO.
  • Quay một hình là phép quay tất cả các điểm của hình đó quanh tâm và góc quy định.
  • Quy ước chiều dương: ngược chiều kim đồng hồ, chiều âm là cùng chiều kim đồng hồ.
  • 5. Mối liên hệ với các phép dời hình khác

    Phép quay cùng với phép tịnh tiến, phép đối xứng trục/phép vị tự là các phép dời hình – những phép biến hình mà mọi điểm được giữ nguyên khoảng cách tương ứng. Trong một số trường hợp đặc biệt (góc quay180180^\circ), phép quay trở thành phép đối xứng tâm.

    6. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

    Bài 1: ChoO(0,0),A(4,0)O(0,0), A(4, 0). Tìm ảnhAA'củaAAqua phép quay tâmOO, góc9090^\circ.

    Giải:
    Ta áp dụng công thức:
    <br/>x=xcosθysinθ<br/>y=xsinθ+ycosθ<br/><br />x' = x\cos \theta - y\sin \theta <br />y' = x\sin \theta + y\cos \theta<br />
    Với x=4x = 4, y=0y = 0, cos90=0\cos 90^\circ = 0, sin90=1\sin 90^\circ = 1
    <br/>x=0<br/>y=4<br/><br />x' = 0 <br />y' = 4<br />
    Vậy A(0,4)A'(0,4).

    Bài 2: ChoO(1,2)O(1,2),B(3,4)B(3,4). Tìm ảnhBB'qua phép quay tâmOO, góc180180^\circ.

    Giải:
    - Đầu tiên đưaBBOOvề gốc tọa độ:B(x,y)=QO,180(B)B'(x',y') = Q_{O,180^\circ}(B)
    ĐiểmBBcó tọa độ (3,4)(3,4), tâm quayO(1,2)O(1,2).

    a. Trừ tâmOO để đưa về gốc:
    Mới:(x0,y0)=(31,42)=(2,2)(x_0, y_0) = (3-1,4-2) = (2,2)

    b. Quay 180180^\circ:
    cos180=1\cos 180^\circ = -1, sin180=0\sin 180^\circ = 0
    x=2×(1)2×0=2<br/>x' = 2 \times (-1) - 2 \times 0 = -2 <br />y' = 2 \times 0 + 2 \times (-1) = -2" data-math-type="inline"> undefined

    4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

  • Nếu góc quayθ=0\theta = 0^\circ, mọi điểm nằm nguyên vẹn tại vị trí cũ (phép đồng nhất).
  • Nếuθ=180\theta = 180^\circ, mỗi điểm đối xứng qua tâmOO.
  • Quay một hình là phép quay tất cả các điểm của hình đó quanh tâm và góc quy định.
  • Quy ước chiều dương: ngược chiều kim đồng hồ, chiều âm là cùng chiều kim đồng hồ.
  • 5. Mối liên hệ với các phép dời hình khác

    Phép quay cùng với phép tịnh tiến, phép đối xứng trục/phép vị tự là các phép dời hình – những phép biến hình mà mọi điểm được giữ nguyên khoảng cách tương ứng. Trong một số trường hợp đặc biệt (góc quay180180^\circ), phép quay trở thành phép đối xứng tâm.

    6. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

    Bài 1: ChoO(0,0),A(4,0)O(0,0), A(4, 0). Tìm ảnhAA'củaAAqua phép quay tâmOO, góc9090^\circ.

    Giải:
    Ta áp dụng công thức:
    <br/>x=xcosθysinθ<br/>y=xsinθ+ycosθ<br/><br />x' = x\cos \theta - y\sin \theta <br />y' = x\sin \theta + y\cos \theta<br />
    Với x=4x = 4, y=0y = 0, cos90=0\cos 90^\circ = 0, sin90=1\sin 90^\circ = 1
    <br/>x=0<br/>y=4<br/><br />x' = 0 <br />y' = 4<br />
    Vậy A(0,4)A'(0,4).

    Bài 2: ChoO(1,2)O(1,2),B(3,4)B(3,4). Tìm ảnhBB'qua phép quay tâmOO, góc180180^\circ.

    Giải:
    - Đầu tiên đưaBBOOvề gốc tọa độ:B(x,y)=QO,180(B)B'(x',y') = Q_{O,180^\circ}(B)
    ĐiểmBBcó tọa độ (3,4)(3,4), tâm quayO(1,2)O(1,2).

    a. Trừ tâmOO để đưa về gốc:
    Mới:(x0,y0)=(31,42)=(2,2)(x_0, y_0) = (3-1,4-2) = (2,2)

    b. Quay 180180^\circ:
    cos180=1\cos 180^\circ = -1, sin180=0\sin 180^\circ = 0
    x=2×(1)2×0=2<br/>x' = 2 \times (-1) - 2 \times 0 = -2 <br />y' = 2 \times 0 + 2 \times (-1) = -2$

    c. Trả lại tâmOO:
    (2+1,2+2)=(1,0)(-2+1, -2+2) = (-1,0)
    VậyB(1,0)B'(-1,0).

    7. Lỗi thường gặp và cách tránh

  • Nhầm chiều quay (cần xác định đúng chiều dương/ngược kim đồng hồ)
  • Quên dịch chuyển tâm tọa độ về gốc khi áp dụng công thức với tâm quay khác gốcO(0,0)O(0,0)
  • Không dùng đơn vị đo góc đúng (radian hoặc độ)
  • Ghi nhầm dấu
    sin<spanclass="mathinline"><spanclass="katex"><spanclass="katexmathml"><mathxmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>h</mi><mi>o</mi><mtext></mtext><mi>c</mi></mrow><annotationencoding="application/xtex">hoc</annotation></semantics></math></span><spanclass="katexhtml"ariahidden="true"><spanclass="base"><spanclass="strut"style="height:0.6944em;"></span><spanclass="mordmathnormal">h</span><spanclass="mordmathnormal">o</span><spanclass="mord"></span><spanclass="mordmathnormal">c</span></span></span></span></span>cos\sin<span class="math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>h</mi><mi>o</mi><mtext>ặ</mtext><mi>c</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">hoặc</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord mathnormal">h</span><span class="mord mathnormal">o</span><span class="mord">ặ</span><span class="mord mathnormal">c</span></span></span></span></span>
    \cos
  • 8. Tóm tắt – Các điểm chính cần nhớ

  • Phép quay là phép biến hình giữ nguyên khoảng cách đến tâm, quay các điểm theo một góc xác định.
  • Công thức quay điểm M(x,y)M(x, y)quanhO(0,0)O(0,0)gócθ\theta:

    x=xcosθysinθx' = x \cos \theta - y \sin \theta

    y' = x \sin \theta + y \cos \theta$
  • Với tâm quay khácO(0,0)O(0,0)cần đưa về gốc tọa độ, quay, rồi dịch lại tâm ban đầu.
  • Các trường hợp đặc biệt:θ=0\theta = 0(đồng nhất),θ=180\theta = 180^\circ(đối xứng tâm),θ\thetadương/quay ngược chiều, âm/quay thuận chiều kim đồng hồ.
  • Phép quay thuộc nhóm phép dời hình, rất quan trọng trong chương trình Hình học 9.
  • T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".