Đưa thừa số vào trong dấu căn – Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 9

1. Giới thiệu về khái niệm đưa thừa số vào trong dấu căn

Trong chương trình Toán 9, các bài toán về căn bậc hai rất quan trọng, đặc biệt là các dạng rút gọn biểu thức. Một kỹ năng thường xuyên xuất hiện là "đưa thừa số vào trong dấu căn". Việc hiểu kỹ yếu tố này giúp học sinh làm chủ các bài rút gọn biểu thức chứa căn, giải phương trình hoặc bất phương trình có căn bậc hai, và nhiều ứng dụng thực tế. Ngoài ra, nắm chắc kỹ thuật này cũng giúp tránh nhiều lỗi sai đáng tiếc trong quá trình học tập và làm bài thi.

2. Định nghĩa chính xác "đưa thừa số vào trong dấu căn"

Đưa thừa số vào trong dấu căn là kỹ thuật biến đổi một biểu thức ở ngoài dấu căn thành một biểu thức nằm hoàn toàn dưới dấu căn, sao cho giá trị của biểu thức không thay đổi. Đối với căn bậc hai, quy tắc biến đổi tổng quát là (với$a \ge 0$và $k \ge 0$):

$k\sqrt{a} = \sqrt{k^2a}$

Nói một cách đơn giản, ta bình phương thừa số nằm ngoài dấu căn rồi nhân với số dưới căn.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Để minh họa rõ hơn, hãy xét ví dụ cụ thể. Giả sử cần đưa thừa số $3$vào trong dấu căn của biểu thức$3\sqrt{5}$. Ta thực hiện như sau:

1. Bước 1: Xác định thừa số ngoài căn ($3$) và số trong căn ($5$).
2. Bước 2: Bình phương thừa số ngoài căn:$3^2 = 9$.
3. Bước 3: Nhân kết quả này với số trong căn:$9 \times 5 = 45$.
4. Bước 4: Đưa toàn bộ vào trong dấu căn: $3\sqrt{5} = \sqrt{45}$.

Kiểm tra lại: $\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = \sqrt{9} \times \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$. Kết quả đúng!

Tổng quát với số $k$bất kỳ dương:

$k\sqrt{a} = \sqrt{k^2a}$

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

1. Thừa số âm: Chỉ áp dụng được khi$k \ge 0$. Nếu$k < 0$phải đặt dấu trừ ra ngoài vì căn bậc hai chỉ xác định với số không âm.
2. Áp dụng với nhiều thừa số: Nếu ngoài căn có nhiều thừa số, bình phương từng thừa số rồi nhân tất cả lại.
3. Căn bậc khác: Phép đưa thừa số vào trong cũng áp dụng cho căn bậc $n$, nhưng thay vì bình phương, ta lũy thừa lên bậc $n$. Công thức tổng quát: $k\sqrt[n]{a} = \sqrt[n]{k^n a}$.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Kỹ thuật đưa thừa số vào trong dấu căn là đối ngược với "đưa thừa số ra ngoài dấu căn". Cả hai kỹ thuật đều dựa vào tính chất $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ và kiến thức về số mũ, đặc biệt là bậc lẻ/chẵn, cùng sự hiểu biết về giá trị tuyệt đối. Các bài toán rút gọn biểu thức, so sánh giá trị và giải phương trình đều cần sử dụng nhuần nhuyễn kỹ năng này.

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Đưa thừa số vào trong dấu căn: $2\sqrt{7}$

Giải:

1. Bình phương số ngoài căn:$2^2 = 4$.
2. Nhân với số trong căn:$4 \times 7 = 28$.
3. Kết quả: $2\sqrt{7} = \sqrt{28}$.

Bài tập 2: Đưa thừa số vào trong dấu căn: $5\sqrt{3}$

1. Bình phương:$5^2 = 25$.
2. Nhân:$25 \times 3 = 75$.
3. Đưa vào căn: $5\sqrt{3} = \sqrt{75}$.

Bài tập 3: Đưa thừa số $-4$vào trong dấu căn của$-4\sqrt{2}$.

Giải: Dấu trừ đặt ra ngoài, chỉ xét giá trị tuyệt đối của$4$:

$-4\sqrt{2} = -\sqrt{4^2 \times 2} = -\sqrt{16 \times 2} = -\sqrt{32}$

Bài tập 4: Đưa $3a$vào trong dấu căn của$3a\sqrt{b}$(với$a \ge 0$).

Giải: $3a\sqrt{b} = \sqrt{(3a)^2b} = \sqrt{9a^2b}$.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

1. Lỗi quên bình phương thừa số ngoài căn mà chỉ nhân: $k\sqrt{a} \neq \sqrt{ka}$.
2. Lỗi áp dụng với số âm: Chỉ bình phương phần số dương và phải đặt dấu trừ ra ngoài nếu có.
3. Lỗi quên điều kiện xác định căn bậc hai (số dưới dấu căn phải không âm).

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Đưa thừa số vào trong dấu căn là kỹ thuật cơ bản giúp rút gọn biểu thức chữa căn bậc hai.
• Công thức cần nhớ: $k\sqrt{a} = \sqrt{k^2a}$(với$k \ge 0$).
• Cần bình phương thừa số ngoài căn trước khi nhân vào dưới dấu căn.
• Luôn kiểm tra điều kiện xác định và dấu của thừa số.
• Kỹ năng này gắn bó chặt chẽ với đưa thừa số ra ngoài dấu căn và các phép biến đổi liên quan đến căn bậc hai.

Hi vọng bài viết đã giúp bạn hiểu rõ về "đưa thừa số vào trong dấu căn". Luyện tập thường xuyên sẽ giúp bạn làm chủ kỹ năng này, rút ngắn thời gian giải toán và nâng cao điểm số.