Đường thẳng cắt đường tròn: Lý thuyết, ví dụ và luyện tập miễn phí

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Trong chương trình toán học lớp 9, khái niệm Đường thẳng cắt đường tròn đóng vai trò vô cùng quan trọng trong các bài toán về hình học phẳng. Hiểu rõ vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn không chỉ giúp các em giải bài tập chính xác, mà còn là nền tảng cho nhiều ứng dụng thực tế như thiết kế kỹ thuật, tính toán trong xây dựng và cả các môn học nâng cao hơn.

Việc thành thạo phần này giúp học sinh rèn luyện tư duy logic, khả năng vận dụng định lý hình học và luyện tập kỹ năng giải quyết vấn đề. Hơn nữa, em có thể luyện tập miễn phí với 42.226+ bài tập Đường thẳng cắt đường tròn ngay tại đây!

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

• Định nghĩa: Đường thẳng cắt đường tròn là đường thẳng có hai điểm chung với đường tròn đó.
• Điểm chung đó gọi là hai giao điểm.
• Nếu phương trình đường thẳng và đường tròn có hai nghiệm phân biệt thì giao điểm của chúng là hai điểm khác nhau.
• Các vị trí khác: Ngoài đường thẳng cắt đường tròn, còn có trường hợp tiếp xúc (tiếp tuyến) và không cắt (không giao).

2.2 Công thức và quy tắc

Giả sử phương trình đường tròn là:$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$
Và đường thẳng:$y = mx + c$

• Đường thẳng cắt đường tròn nếu và chỉ nếu phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt.
• Điều kiện:$\Delta > 0$với$\Delta$là biệt thức của phương trình bậc hai về $x$hoặc$y$khi thế vào phương trình đường tròn.
• Khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng$d < R$(khoảng cách nhỏ hơn bán kính).

Công thức khoảng cách từ tâm$O(a; b)$ đến đường thẳng$Ax + By + C = 0$:

$d = \frac{|Aa + Bb + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

Ghi nhớ: Nếu$d < R$thì đường thẳng cắt đường tròn;$d = R$thì là tiếp tuyến;$d > R$thì không có giao điểm.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Cho đường tròn$(O): (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25$và đường thẳng$d: y = 1$.

Kiểm tra d có cắt đường tròn hay không:

• Tâm$O(2; -3)$, bán kính$R = 5$.
• Đường thẳng$y = 1$có dạng$0x + 1y - 1 = 0$.
• Khoảng cách từ O đến d: $d = \frac{|0.2 + 1.(-3) - 1|}{\sqrt{0^2 + 1^2}} = \frac{|-3-1|}{1} = 4$.
• $4 < 5$nên d cắt đường tròn.

Để tìm tọa độ giao điểm:

Thế $y = 1$vào phương trình đường tròn:
$(x - 2)^2 + (1 + 3)^2 = 25$

Vậy hai giao điểm là $(5;1)$và $(-1;1)$.

3.2 Ví dụ nâng cao

Cho đường tròn$(O): (x+1)^2 + (y - 4)^2 = 13$và đường thẳng$d: 3x - 4y + 5 = 0$. Kiểm tra d có cắt đường tròn không? Nếu có, hãy tìm giao điểm.

• Tâm $O(-1;4)$, bán kính $R = \sqrt{13}$.
• Khoảng cách từ O đến d:
  $d = \frac{|3.(-1) - 4.4 + 5|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|-3-16+5|}{5} = \frac{14}{5} \approx 2.8$.
• $\sqrt{13} \approx 3.6 > 2.8$ nên d cắt đường tròn tại hai điểm.

Giải tiếp bước tìm giao điểm:
- Giải hệ:

=>$y = \frac{3x + 5}{4}$
Thế vào phương trình đường tròn:

$(x+1)^2 + \left(\frac{3x+5}{4} -4\right)^2 = 13$

Tự giải tiếp ra được nghiệm để tìm chính xác 2 điểm cắt.

Kỹ thuật giải nhanh: Luôn kiểm tra điều kiện ($d < R$) trước khi giải hệ để tiết kiệm thời gian.

4. Các trường hợp đặc biệt

• Nếu$d = R$thì đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn (chỉ có 1 điểm chung).
• Nếu$d > R$thì đường thẳng không cắt đường tròn.
• Nếu điểm nằm ngoài đường tròn, tiếp tuyến qua điểm đó chỉ được xác định khi$d = R$.
• Liên hệ với tiếp tuyến, điểm nằm trên/ ngoài/ trong đường tròn...

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

• Nhầm lẫn giữa vị trí cắt và tiếp xúc.
• Không kiểm tra điều kiện cắt trước khi giải.
• Hiểu sai về khoảng cách tâm đến đường thẳng.

5.2 Lỗi về tính toán

• Lỗi khi thế giá trị vào phương trình.
• Sai công thức tính khoảng cách hoặc bán kính.
• Không kiểm tra lại nghiệm tìm được.

Phương pháp kiểm tra: luôn thay nghiệm tìm được vào cả hai phương trình để xác nhận kết quả đúng.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Em có thể truy cập 42.226+ bài tập Đường thẳng cắt đường tròn miễn phí tại đây. Không cần đăng ký, chỉ cần vào là luyện tập ngay!

• Hệ thống tự động đánh giá bài làm, giúp em theo dõi tiến độ học tập.
• Các dạng bài tập đa dạng, có cả cơ bản và nâng cao.
• Phân tích đáp án chi tiết sau mỗi bài luyện tập.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

• Khái niệm: Đường thẳng cắt đường tròn có hai điểm chung.
• Điều kiện:$d < R$hoặc phương trình giao điểm có hai nghiệm.
• Các bước giải: Viết phương trình, thế vào, kiểm tra nghiệm.
• Luôn kiểm tra lại kết quả bằng cách thay nghiệm vào phương trình.

Checklist khi ôn tập:

• Nắm chắc điều kiện$d < R$
• Thông thạo công thức tính khoảng cách từ tâm đến đường thẳng
• Phân biệt ba trường hợp: cắt, tiếp xúc, không cắt
• Làm nhiều bài tập luyện tập để ghi nhớ sâu kiến thức

Chúc các em học tốt và thành công với chủ đề Đường thẳng cắt đường tròn!