Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn: Khái niệm, tính chất và ví dụ chi tiết

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

- Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn là đường thẳng chỉ có một điểm chung với đường tròn.

- Hiểu rõ khái niệm giúp vận dụng linh hoạt trong chứng minh hình học và giải toán liên quan đến đường tròn.

- Ứng dụng trong xác định tiếp tuyến trong vật lý (quỹ đạo chuyển động), kiến trúc, kỹ thuật thiết kế bánh răng, bánh xe...

- Cơ hội luyện tập miễn phí với 100+ bài tập.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

- Định nghĩa: Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn là đường thẳng chỉ tiếp xúc tại đúng một điểm gọi là tiếp điểm.

- Tính chất chính: Tia nối tâm$O$với tiếp điểm$T$vuông góc với tiếp tuyến tại$T$.

- Điều kiện tiếp xúc: Khoảng cách từ tâm$O$ đến đường thẳng bằng bán kính$r$.

2.2 Công thức và quy tắc

- Công thức điều kiện tiếp xúc: Với đường thẳng $Ax+By+C=0$và tâm$O(x_0,y_0)$, điều kiện $\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}=r$.

- Phương trình tiếp tuyến tại$T(x_1,y_1)$với đường tròn$x^2+y^2=r^2$:$xx_1+yy_1=r^2$.

- Điều kiện sử dụng: Dùng khi biết tiếp điểm; với đường thẳng biết hệ số góc, dùng công thức khoảng cách.

- Biến thể: Tìm tiếp tuyến từ điểm ngoài bằng cách giải hệ hoặc dùng điều kiện $\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}=r$.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Cho đường tròn$(O): x^2+y^2=25$và điểm$A(3,4)$thuộc đường tròn. Hãy tìm phương trình tiếp tuyến tại$A$.

Bước 1: Xác định bán kính và tọa độ tiếp điểm:$r=5$,$A(3,4)$.

Bước 2: Phương trình tiếp tuyến tại$T(x_1,y_1)$cho đường tròn chuẩn$x^2+y^2=r^2$là $xx_1+yy_1=r^2$.

Bước 3: Thay$x_1=3$,$y_1=4$,$r=5$:$3x+4y=25$.

Lưu ý: Đây là dạng nhanh không cần xác định hệ số góc.

3.2 Ví dụ nâng cao

Cho đường tròn$(C): (x-2)^2+(y-1)^2=9$và điểm$P(5,5)$bên ngoài. Tìm các tiếp tuyến từ $P$.

Gọi tiếp tuyến là $y=mx+b$. Vì tiếp xúc, ta có $\frac{|2m-1+b|}{\sqrt{m^2+1}}=3$.

Do$P(5,5)$thuộc tiếp tuyến,$5=5m+b\implies b=5-5m$. Thay vào, giải phương trình để tìm$m$, thu được hai nghiệm.

Kết quả: Hai tiếp tuyến là $y=m_1x+b_1$và $y=m_2x+b_2$với các giá trị $m_{1,2}$và $b_{1,2}$ đã xác định từ phương trình.

4. Các trường hợp đặc biệt

- Đường thẳng đi qua tâm cắt đường tròn tại hai điểm (secant), không phải tiếp tuyến.

- Nếu khoảng cách$d<r$thì cắt hai điểm;$d=r$tiếp xúc;$d>r$không giao.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

- Nhầm tiếp tuyến với đường phân giác của góc giữa hai bán kính.

- Hiểu sai điểm chung giữa đường thẳng và đường tròn là không hơn một.

- Giải pháp: Vẽ hình minh họa, nhắc lại định nghĩa.

5.2 Lỗi về tính toán

- Nhầm dấu khi thay vào công thức khoảng cách.

- Sai tính toán hệ số góc hoặc hằng số $b$.

- Kiểm tra bằng cách tính lại khoảng cách từ tâm đến tiếp tuyến và kiểm chứng điểm tiếp xúc.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Truy cập 100+ bài tập Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn miễn phí.

- Không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập ngay lập tức.

- Theo dõi tiến độ học tập và cải thiện kỹ năng.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

- Tiếp tuyến chỉ tiếp xúc với đường tròn tại một điểm duy nhất.

- Điều kiện tiếp xúc: $d(O, \text{đường thẳng})=r$ .

- Phương pháp: sử dụng công thức tiếp tuyến tại điểm, hoặc điều kiện khoảng cách.

- Lập kế hoạch ôn tập: xem lại lý thuyết, giải ví dụ, làm bài tập tự luận.