Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn: Khái niệm và ứng dụng

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 9, khái niệm “Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn” giúp các em hiểu rõ mối quan hệ đặc biệt giữa đường thẳng và đường tròn. Tiếp tuyến là đường duy nhất chỉ chạm vào đường tròn tại một điểm duy nhất.

Việc nắm vững khái niệm này rất quan trọng vì:

- Giúp giải quyết các bài toán hình học về vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn.

- Ứng dụng trong thực tế: thiết kế bánh răng, giao thông, công trình xây dựng,…

Cơ hội luyện tập miễn phí với hơn 50+ bài tập để các em củng cố kiến thức.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

• Định nghĩa: Đường thẳng$d$tiếp xúc với đường tròn$(O,r)$nếu$d$chỉ có một điểm chung với$(O)$.

• Tính chất chính: Nếu $d:ax+by+c=0$và $O(x_0,y_0)$, thì $d$là tiếp tuyến của$(O,r)$khi và chỉ khi$\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=r.$

• Điểm tiếp xúc$T$là giao điểm duy nhất của$d$và đường tròn$(O)$.

2.2 Công thức và quy tắc

1) Điều kiện tiếp tuyến với dạng chuẩn $ax+by+c=0$: $\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=r.$

2) Tiếp tuyến có hệ số góc $m$: $y=mx+b\quad\text{và}\quad\frac{|mx_0-y_0+b|}{\sqrt{m^2+1}}=r.$

Mẹo ghi nhớ: Hãy liên tưởng “khoảng cách từ tâm đến đường thẳng” bằng “bán kính”.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Cho đường tròn$(O(0,0),5)$và đường thẳng$d:y=5$. Chứng minh$d$là tiếp tuyến của$(O)$.

Bước 1: Tính khoảng cách từ $O$ đến$d$: $\frac{|0 \cdot 0-0+5|}{\sqrt{0^2+1^2}}=5.$

Bước 2: So sánh với bán kính$r=5$. Do bằng nhau nên$d$tiếp xúc với$(O)$.

Lưu ý: Nếu kết quả nhỏ hơn$r$,$d$cắt đường tròn; lớn hơn$r$,$d$không giao nhau.

3.2 Ví dụ nâng cao

Cho điểm$A(8,0)$nằm ngoài$(O(0,0),5)$. Viết phương trình tiếp tuyến từ $A$ đến$(O)$.

Giải: Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc $m$, dạng $y=mx+ b$. Vì đi qua $A$: $0=8m+b \Rightarrow b=-8m$. Áp dụng điều kiện tiếp tuyến: $\frac{|m \cdot 0-0-8m|}{\sqrt{m^2+1}}=5 \Rightarrow \frac{8|m|}{\sqrt{m^2+1}}=5.$

Giải phương trình tìm$m$, rồi thay ngược để tìm$b$và viết hai phương trình tiếp tuyến.

Kỹ thuật: Biến đổi đại số cẩn thận, chú ý dấu giá trị tuyệt đối.

4. Các trường hợp đặc biệt

- Đường thẳng đi qua tâm: không thể là tiếp tuyến vì chia đôi đường tròn.

- Đường thẳng song song với trục hoành hoặc tung độ: công thức khoảng cách đơn giản hơn.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

• Nhầm lẫn tiếp tuyến và cát tuyến (cắt 2 điểm).

• Hiểu sai điều kiện khoảng cách: hãy luôn viết công thức chính xác.

5.2 Lỗi về tính toán

• Quên giá trị tuyệt đối trong công thức khoảng cách.

• Tính sai mẫu số $\sqrt{a^2+b^2}$: kiểm tra lại bình phương.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Truy cập hơn 50 bài tập “Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn” miễn phí. Không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập và theo dõi tiến độ của bạn ngay.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

• Tiếp tuyến chạm đường tròn đúng 1 điểm.

• Khoảng cách từ tâm đến đường thẳng bằng bán kính: $\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=r.$

• Checklist: viết đúng phương trình, kiểm tra dấu tuyệt đối, so sánh với$r$.

Lập kế hoạch ôn tập: ôn lý thuyết – làm ví dụ mẫu – làm bài tập tự luyện.