Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn: Khái niệm, lý thuyết & bài tập cho học sinh lớp 9
1. Giới thiệu: Vì sao phải học về đường thẳng tiếp xúc với đường tròn?
Trong chương trình Toán lớp 9, kiến thức về "đường thẳng tiếp xúc với đường tròn" là nội dung hình học nền tảng, hỗ trợ trực tiếp cho các bài toán vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn, và giúp học sinh phát triển tư duy hình học logic. Đây cũng là chủ đề quan trọng trong các kỳ thi, thường xuyên xuất hiện trong đề kiểm tra, ôn tập và các bài tập vận dụng. Việc nắm vững khái niệm tiếp tuyến sẽ giúp học sinh giải quyết thấu đáo nhiều bài toán hình học, đồng thời làm nền tảng cho các kiến thức nâng cao hơn về hình học tọa độ, lượng giác, hay hình học không gian.
2. Định nghĩa đường thẳng tiếp xúc với đường tròn
Một đường thẳng được gọi là tiếp tuyến của một đường tròn tại điểmnếu nó chỉ có một điểm chung với đường tròn đó là , và tại điểm tiếp xúc, đường thẳng vuông góc với bán kính của đường tròn đi qua. Cụ thể:
- Nếulà tâm của đường trònvà là điểm tiếp xúc, thì vuông góc với đường thẳngtại.
- Đường thẳngchỉ cắt đường tròn tại duy nhất một điểm(haytiếp xúc với đường tròn tại).
3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa
Giả sử cho đường trònvà điểmnằm trên đường tròn (tức). Khi đó, tính chất quan trọng của tiếp tuyến như sau:
- Tiếp tuyến tạivuông góc với bán kính(tại)
- Điểmlà điểm duy nhất tại đó cắt
Ví dụ minh họa:
Cho đường tròn,là điểm trên đường tròn,. Vẽ tiếp tuyếntại. Khi đó chỉ tiếp xúc với đường tròn tại, và tại.
Nếu xét trên hệ trục toạ độ, đường tròncó phương trình
Giả sử tiếp tuyến tại điểmtrên đường tròn sẽ có phương trình:
4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng
- Một đường tròn chỉ có một tiếp tuyến tại mỗi điểm trên đường tròn.
- Qua một điểm ngoài đường tròn, có thể kẻ được hai tiếp tuyến đến đường tròn.
- Nếu khoảng cách từ tâm đến đường thẳnglà nhỏ hơn:cắttại hai điểm (không phải tiếp tuyến). Nếu bằngthì là tiếp tuyến. Nếu lớn hơn,nằm ngoài đường tròn.
5. Liên hệ với các khái niệm toán học khác
Khái niệm tiếp tuyến là nền tảng để phát triển các khái niệm như:
- Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn (tiếp xúc, cắt nhau, không giao nhau)
- Tính toán khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
- Ứng dụng vào các bài toán phức tạp hơn như hình học không gian, lượng giác,…
6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết
Bài tập 1: Cho đường tròn, vẽ tiếp tuyếntại điểmtrên đường tròn. Chứng minh.
Lời giải: Ta biết tiếp tuyến tạiluôn vuông góc với bán kính. Do đó,tại.
Bài tập 2: Với đường trònvà điểmcáchmột đoạn. Có thể kẻ bao nhiêu tiếp tuyến từ đến đường tròn?
Lời giải: Vì , từ có thể kẻ được hai tiếp tuyến đến đường tròn.
Bài tập 3: Tìm phương trình tiếp tuyến của đường tròntại điểm.
Lời giải: Đường tròn có tâm,.
Phương trình tiếp tuyến tạilà:.
7. Các lỗi thường gặp và cách tránh
- Nhầm lẫn giữa tiếp tuyến và dây cung: Tiếp tuyến chỉ tiếp xúc 1 điểm với đường tròn, còn dây thì cắt đường tròn tại 2 điểm.
- Lấy sai khoảng cách từ tâm đến đường thẳng khi xét vị trí tương đối.
- Quên điều kiện tiếp tuyến: Đường thẳng phải vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc.
8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ
- Tiếp tuyến với đường tròn chỉ cắt đường tròn tại một điểm và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó.
- Qua một điểm ngoài đường tròn, luôn có thể kẻ hai tiếp tuyến.
- Phương trình tiếp tuyến có thể được viết dựa vào tọa độ điểm tiếp xúc.
- Hiểu bản chất tiếp tuyến giúp giải quyết tốt các bài toán hình học lớp 9 và làm nền tảng cho các lớp trên.
Danh mục:
Tác giả
Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.
Theo dõi chúng tôi tại