Blog

Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn: Khái niệm, lý thuyết & bài tập cho học sinh lớp 9

T
Tác giả
6 phút đọc
Chia sẻ:
7 phút đọc

1. Giới thiệu: Vì sao phải học về đường thẳng tiếp xúc với đường tròn?

Trong chương trình Toán lớp 9, kiến thức về "đường thẳng tiếp xúc với đường tròn" là nội dung hình học nền tảng, hỗ trợ trực tiếp cho các bài toán vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn, và giúp học sinh phát triển tư duy hình học logic. Đây cũng là chủ đề quan trọng trong các kỳ thi, thường xuyên xuất hiện trong đề kiểm tra, ôn tập và các bài tập vận dụng. Việc nắm vững khái niệm tiếp tuyến sẽ giúp học sinh giải quyết thấu đáo nhiều bài toán hình học, đồng thời làm nền tảng cho các kiến thức nâng cao hơn về hình học tọa độ, lượng giác, hay hình học không gian.

2. Định nghĩa đường thẳng tiếp xúc với đường tròn

Một đường thẳng được gọi là tiếp tuyến của một đường tròn tại điểmAAnếu nó chỉ có một điểm chung với đường tròn đó là AA, và tại điểm tiếp xúcAA, đường thẳng vuông góc với bán kính của đường tròn đi quaAA. Cụ thể:

  • NếuOOlà tâm của đường tròn(O;R)(O; R)AAlà điểm tiếp xúc, thì OAOAvuông góc với đường thẳngddtạiAA.
  • Đường thẳngddchỉ cắt đường tròn tại duy nhất một điểmAA(hayddtiếp xúc với đường tròn tạiAA).

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Giả sử cho đường tròn(O;R)(O; R)và điểmAAnằm trên đường tròn (tứcOA=ROA = R). Khi đó, tính chất quan trọng của tiếp tuyến như sau:

  • Tiếp tuyến tạiAAvuông góc với bán kínhOAOA(dOAd \perp OAtạiAA)
  • ĐiểmAAlà điểm duy nhất tại đó ddcắt(O)(O)

Ví dụ minh họa:

Cho đường tròn(O;4)(O; 4),AAlà điểm trên đường tròn,OA=4OA = 4. Vẽ tiếp tuyếnddtạiAA. Khi đó ddchỉ tiếp xúc với đường tròn tạiAA, và dOAd \perp OAtạiAA.

Nếu xét trên hệ trục toạ độ, đường tròn(O;R)(O; R)có phương trình

(xa)2+(yb)2=R2(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2

Giả sử tiếp tuyến tại điểmA(x0,y0)A(x_0, y_0)trên đường tròn sẽ có phương trình:

(x0a)(xa)+(y0b)(yb)=R2(x_0 - a)(x - a) + (y_0 - b)(y - b) = R^2

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

  • Một đường tròn chỉ có một tiếp tuyến tại mỗi điểm trên đường tròn.
  • Qua một điểm ngoài đường tròn, có thể kẻ được hai tiếp tuyến đến đường tròn.
  • Nếu khoảng cách từ tâmOO đến đường thẳngddlà nhỏ hơnRR:ddcắt(O)(O)tại hai điểm (không phải tiếp tuyến). Nếu bằngRRthì ddlà tiếp tuyến. Nếu lớn hơnRR,ddnằm ngoài đường tròn.

5. Liên hệ với các khái niệm toán học khác

Khái niệm tiếp tuyến là nền tảng để phát triển các khái niệm như:

  • Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn (tiếp xúc, cắt nhau, không giao nhau)
  • Tính toán khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
  • Ứng dụng vào các bài toán phức tạp hơn như hình học không gian, lượng giác,…
Hình minh họa: Minh họa đường tròn x² + y² = 25 (tâm O(0,0), bán kính 5), điểm A(3,4), bán kính OA và tiếp tuyến tại A với phương trình 3x + 4y = 25
Minh họa đường tròn x² + y² = 25 (tâm O(0,0), bán kính 5), điểm A(3,4), bán kính OA và tiếp tuyến tại A với phương trình 3x + 4y = 25

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Cho đường tròn(O;5)(O; 5), vẽ tiếp tuyếnddtại điểmAAtrên đường tròn. Chứng minhOAdOA \perp d.

Lời giải: Ta biết tiếp tuyến tạiAAluôn vuông góc với bán kínhOAOA. Do đó,OAdOA \perp dtạiAA.

Bài tập 2: Với đường tròn(O;3)(O; 3)và điểmMMcáchOOmột đoạn55. Có thể kẻ bao nhiêu tiếp tuyến từ MM đến đường tròn?

Lời giải: Vì OM=5>R=3OM = 5 > R = 3, từ MMcó thể kẻ được hai tiếp tuyến đến đường tròn.

Bài tập 3: Tìm phương trình tiếp tuyến của đường trònx2+y2=25x^2 + y^2 = 25tại điểmA(3,4)A(3,4).

Lời giải: Đường tròn có tâmO(0,0)O(0,0),R=5R=5.

Phương trình tiếp tuyến tạiA(3,4)A(3,4)là:3x+4y=253x + 4y = 25.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

  • Nhầm lẫn giữa tiếp tuyến và dây cung: Tiếp tuyến chỉ tiếp xúc 1 điểm với đường tròn, còn dây thì cắt đường tròn tại 2 điểm.
  • Lấy sai khoảng cách từ tâm đến đường thẳng khi xét vị trí tương đối.
  • Quên điều kiện tiếp tuyến: Đường thẳng phải vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

  • Tiếp tuyến với đường tròn chỉ cắt đường tròn tại một điểm và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó.
  • Qua một điểm ngoài đường tròn, luôn có thể kẻ hai tiếp tuyến.
  • Phương trình tiếp tuyến có thể được viết dựa vào tọa độ điểm tiếp xúc.
  • Hiểu bản chất tiếp tuyến giúp giải quyết tốt các bài toán hình học lớp 9 và làm nền tảng cho các lớp trên.
T

Tác giả

Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".