1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 9, Đường tròn ngoại tiếp tam giác là nội dung quan trọng thuộc phần hình học phẳng. Hiểu rõ khái niệm này giúp học sinh giải quyết các bài toán về tứ giác nội tiếp, đa giác đều và vận dụng tính chất hình học trong các bài toán thực tế.

Đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn đi qua ba đỉnh$A$,$B$,$C$của tam giác$ABC$.

Hiểu rõ khái niệm này giúp học sinh nắm vững phần hình học, dễ dàng giải các bài toán liên quan và phát triển tư duy hình học.

Ứng dụng thực tế: trong kỹ thuật, bản vẽ, thiết kế lắp ráp, người ta thường sử dụng tính chất đường tròn ngoại tiếp để xác định tâm và bán kính chính xác.

Cơ hội luyện tập miễn phí với 40.744+ bài tập

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

- Định nghĩa và khái niệm quan trọng: Đường tròn ngoại tiếp tam giác, tâm (tâm ngoại tiếp) và bán kính (bán kính ngoại tiếp).

- Định lý chính: Tâm đường tròn ngoại tiếp là giao điểm của ba đường trung trực của các cạnh tam giác.

- Điều kiện áp dụng: Áp dụng cho mọi tam giác không thẳng hàng ba điểm; nếu tam giác vuông, tâm nằm ở trung điểm của cạnh huyền.

2.2 Công thức và quy tắc

Danh sách công thức cần thuộc lòng:

$R = \frac{abc}{4S}$

$R = \frac{a}{2\sin A} = \frac{b}{2\sin B} = \frac{c}{2\sin C}$

Cách ghi nhớ: Công thức thứ nhất liên quan ba cạnh và diện tích, thứ hai liên quan cạnh và sin góc đối diện.

Điều kiện sử dụng: Sử dụng công thức$\frac{abc}{4S}$khi biết ba cạnh hoặc diện tích; sử dụng công thức sin khi biết hai góc và một cạnh hoặc hai cạnh và góc xen giữa.

Các biến thể: Với tam giác vuông,$R = \frac{BC}{2}$nếu$BC$là huyền.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Ví dụ 1: Cho tam giác$ABC$có $AB=5$,$BC=6$,$CA=7$. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp.

Bước 1: Tính nửa chu vi$p = \frac{5+6+7}{2} = 9$.

Bước 2: Tính diện tích theo Heron: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{9(9-5)(9-6)(9-7)} = 6\sqrt{6}$.

Bước 3: Áp dụng $R = \frac{abc}{4S} = \frac{5 \times 6 \times 7}{4 \times 6\sqrt{6}} = \frac{35}{4\sqrt{6}} \approx 3.57.$

Lưu ý: Làm tròn đến hai chữ số thập phân.

3.2 Ví dụ nâng cao

Ví dụ 2: Cho tam giác$ABC$vuông tại$A$với$BC=10$. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp.

Do tam giác vuông tại$A$, cạnh huyền$BC$là đường kính. Vậy$R = \frac{BC}{2} = 5.$

Kỹ thuật giải nhanh: Nhận biết tam giác vuông để sử dụng tính chất đường kính ngay lập tức.

4. Các trường hợp đặc biệt

- Tam giác vuông: Bán kính bằng nửa độ dài cạnh huyền.

- Tam giác đều: $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$ (a là độ dài cạnh).

- Khi một cạnh của tam giác là đường kính thì tam giác vuông.

Mối liên hệ: Đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp là hai khái niệm đối lập nhưng bổ trợ trong giải toán hình học.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

- Hiểu sai định nghĩa: Cho rằng tâm ngoại tiếp là giao điểm của các đường cao.

- Nhầm với đường tròn nội tiếp: Nội tiếp tiếp xúc ba cạnh, ngoại tiếp đi qua ba đỉnh.

Cách tránh: Ghi nhớ: ngoại tiếp đi qua đỉnh, nội tiếp tiếp xúc cạnh.

5.2 Lỗi về tính toán

- Sai sót áp dụng công thức Heron: Nhầm giá trị $p$hoặc các hiệu.

- Lỗi chia thiếu hệ số 4 trong mẫu công thức$R=\frac{abc}{4S}$.

Phương pháp kiểm tra: Thử với tam giác vuông hoặc tam giác đều để kiểm chứng công thức.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Truy cập 40.744+ bài tập Đường tròn ngoại tiếp tam giác miễn phí.

Không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập ngay lập tức.

Theo dõi tiến độ học tập và cải thiện kỹ năng.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

- Đường tròn ngoại tiếp tam giác: đi qua ba đỉnh tam giác.

- Tâm là giao điểm của ba đường trung trực.

- Công thức chính: $R = \frac{abc}{4S},\; R = \frac{a}{2\sin A}$.

- Checklist trước khi làm bài: xác định loại tam giác, tính diện tích chính xác.

Kế hoạch ôn tập: Thực hành bài cơ bản, nâng cao và ôn lại công thức hàng tuần.