Bài viết này giải thích chi tiết khái niệm “Đường tròn ngoại tiếp tam giác” cho học sinh lớp 9, kèm lý thuyết, ví dụ, lỗi thường gặp và bài tập miễn phí.

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

- Khái niệm Đường tròn ngoại tiếp tam giác trong chương trình toán học lớp 9

- Đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn đi qua ba đỉnh của một tam giác.

- Việc hiểu rõ khái niệm này giúp giải các bài toán hình học về tam giác và vòng tròn hiệu quả.

- Ứng dụng trong đo đạc, xây dựng và các bài toán hình học thực tiễn.

- Cơ hội luyện tập miễn phí với 100+ bài tập

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

- Định nghĩa: Tâm ngoại tiếp của tam giác là giao điểm của ba đường trung trực của các cạnh tam giác.

- Tính chất: Tâm cách đều ba đỉnh tam giác, bán kính đường tròn ngoại tiếp không đổi.

- Điều kiện: Tam giác không suy biến (các điểm không thẳng hàng).

2.2 Công thức và quy tắc

- Công thức bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác:$R = \frac{abc}{4S}$

- Công thức theo góc: $R = \frac{a}{2\sin A} = \frac{b}{2\sin B} = \frac{c}{2\sin C}$

- Cách ghi nhớ: Liên hệ bán kính với diện tích (4S) và độ dài cạnh.

- Điều kiện sử dụng: Áp dụng khi biết ba cạnh hoặc một cạnh và góc đối diện.

- Biến thể: Sử dụng công thức kết hợp tọa độ để xác định tâm O của đường tròn ngoại tiếp.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Cho tam giác$ABC$có độ dài$AB=3$,$BC=4$,$CA=5$. Tính bán kính$R$của đường tròn ngoại tiếp.

Bước 1: Tính diện tích tam giác (tam giác vuông tại B):$S = \frac{1}{2} AB \times BC = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6.$

Bước 2: Áp dụng công thức$R = \frac{abc}{4S} = \frac{3 \times 4 \times 5}{4 \times 6} = \frac{60}{24} = 2{,}5.$

Kết luận: Bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác là $2{,}5$ đơn vị.

Lưu ý: Phải xác định đúng tam giác vuông để tính diện tích chính xác.

3.2 Ví dụ nâng cao

Cho tam giác$ABC$có $A(0,0)$,$B(4,0)$,$C(0,4)$. Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp.

Bước 1: Tìm trung điểm các cạnh:

-$M_{AB}\bigl(\frac{0+4}{2},\frac{0+0}{2}\bigr) = (2,0)$

-$M_{BC}\bigl(\frac{4+0}{2},\frac{0+4}{2}\bigr) = (2,2)$

Bước 2: Viết phương trình đường trung trực:

- Cạnh$AB$có hệ số góc$0$, nên đường trung trực vuông góc là đường thẳng$x=2$.

- Cạnh$BC$có hệ số góc$-1$, nên đường trung trực có hệ số góc$1$qua$M_{BC}$:$y-2 = 1(x-2) \Rightarrow y=x.$

Bước 3: Giao điểm của$x=2$và $y=x$là $O(2,2)$, đó là tâm ngoại tiếp.

Bước 4: Tính bán kính: $R = OA = \sqrt{(2-0)^2+(2-0)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}.$

4. Các trường hợp đặc biệt

- Tam giác đều: Tâm ngoại tiếp trùng với trực tâm, $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

- Tam giác vuông: Tâm ngoại tiếp là trung điểm cạnh huyền,$R = \frac{c}{2}$(c là cạnh huyền).

- Tam giác cân: Tâm ngoại tiếp nằm trên trục đối xứng của tam giác.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

- Nhầm lẫn giữa đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp.

- Hiểu sai vai trò của tâm ngoại tiếp.

- Cách tránh: Ôn lại định nghĩa và vẽ hình minh họa rõ ràng.

5.2 Lỗi về tính toán

- Quên nhân với$4S$trong công thức tính$R$.

- Sai dấu khi tính phương trình đường trung trực.

- Phương pháp kiểm tra: Thay kết quả vào công thức hoặc vẽ hình.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Truy cập 100+ bài tập Đường tròn ngoại tiếp tam giác miễn phí.

Không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập ngay lập tức.

Theo dõi tiến độ học tập và cải thiện kỹ năng.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

- Tâm ngoại tiếp là giao điểm của ba đường trung trực.

- Bán kính $R tính theo công thức$R = \frac{abc}{4S}$hoặc R = \frac{a}{2\sin A}$.

- Tam giác đặc biệt: đều, vuông, cân có tính chất riêng.

Checklist trước khi làm bài: kiểm tra định nghĩa, áp dụng đúng công thức và vẽ hình.

Lên kế hoạch ôn tập: thực hành bài tập cơ bản → nâng cao → tổng hợp.