Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt: Khái niệm, phương pháp và ứng dụng (Toán 9)

1. Giới thiệu về giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

Trong chương trình toán THCS, đặc biệt là chương trình Toán lớp 9, khái niệm về giá trị lượng giác của các góc đặc biệt đóng vai trò nền tảng cho việc học và vận dụng các kiến thức lượng giác sau này. Các giá trị này không chỉ giúp học sinh giải nhanh các bài toán tam giác vuông, mà còn là công cụ then chốt khi chuyển lên các lớp cao hơn cũng như trong các ứng dụng thực tế như trắc địa, vật lý, kiến trúc.

2. Định nghĩa chính xác giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

Các tỉ số lượng giác cơ bản của một góc (đặc biệt) trong tam giác vuông gồm: sin, cos, tan và cot. Các góc đặc biệt thường gặp là $0^\circ$,$30^\circ$,$45^\circ$,$60^\circ$và $90^\circ$.

• Giá trị sin, cos, tan, cot tương ứng của các góc đặc biệt:

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Để hiểu rõ các giá trị trên, hãy xây dựng các tam giác vuông đặc biệt và tính toán tỉ số lượng giác.

a) Tam giác$30^\circ$-$60^\circ$-$90^\circ$

Xét tam giác đều có cạnh$a$, hạ đường cao, ta có tam giác vuông với các góc$30^\circ$,$60^\circ$,$90^\circ$.

- Cạnh đối với góc $30^\circ$là $\frac{a}{2}$, cạnh kề là $\frac{a\sqrt{3}}{2}$, cạnh huyền là $a$.

Từ đó:
- $\sin 30^\circ = \frac{\frac{a}{2}}{a} = \frac{1}{2}$
- $\cos 30^\circ = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
- $\tan 30^\circ = \frac{\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

b) Tam giác vuông cân$45^\circ$

Xét tam giác vuông cân (hai cạnh góc vuông bằng $a$), cạnh huyền là $a\sqrt{2}$.

- $\sin 45^\circ = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
- $\cos 45^\circ = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
- $\tan 45^\circ = \frac{a}{a} = 1$
- $\cot 45^\circ = 1$

c) Góc$0^\circ$và $90^\circ$

$0^\circ$: Tam giác gần như "biến mất" một cạnh, thấy ngay $\sin 0^\circ = 0$, $\cos 0^\circ = 1$.

$90^\circ$: Góc vuông, cạnh kề thành 0, nên $\cos 90^\circ = 0$, $\sin 90^\circ = 1$. Các tỉ số $\tan 0^\circ$, $\cot 90^\circ$xác định, còn$\tan 90^\circ$, $\cot 0^\circ$ không xác định vì chia cho 0.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

-$\tan 90^\circ$,$\cot 0^\circ$không xác định do mẫu bằng 0.
- Nên thuộc lòng bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt để thuận tiện khi giải bài tập.
- Chỉ áp dụng các giá trị này cho tam giác vuông hoặc trường hợp có liên quan phù hợp.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Các giá trị lượng giác là nền tảng trong giải tam giác, định lý sin, định lý cos, giải các bài toán trắc địa, vật lý.
- Liên quan mật thiết tới công thức đường chéo, định lý Pythagoras.

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

1. Bài 1: Tính$x$trong tam giác vuông có một góc$30^\circ$, cạnh huyền$10$cm, cạnh đối góc$30^\circ$là $x$.
2. Giải:
3. $\sin 30^\circ = \frac{x}{10}$\Rightarrow$x = 10 \cdot \sin 30^\circ = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$ (cm)
4. Bài 2: Cho tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng$8$cm. Tính độ dài mỗi cạnh góc vuông.
5. Giải:
6. $a\sqrt{2} = 8 \Rightarrow a = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}$ (cm)
7. Bài 3: Tìm chiều cao$h$của tam giác đều cạnh$a = 12$cm sử dụng lượng giác.
8. Giải:
   Trong tam giác đều, đường cao chia tam giác thành hai tam giác vuông có góc $60^\circ$. Dùng $\cos 60^\circ = \frac{1}{2} = \frac{\text{cạnh kề}}{a} \rightarrow$cạnh kề $= \frac{a}{2} = 6$cm.
   Dùng$\sin 60^\circ = \frac{h}{a}$\Rightarrow$h = a \cdot \sin 60^\circ = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ (cm)

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Nhớ nhầm giá trị (ví dụ: $\sin 30^\circ$là $\frac{1}{2}$chứ không phải$\frac{\sqrt{3}}{2}$)
- Sử dụng sai tỉ số lượng giác: Nhầm cạnh đối và cạnh kề.
- Áp dụng giá trị đặc biệt vào trường hợp không phải tam giác vuông hoặc không xác định.

8. Tóm tắt và các điểm cần nhớ

• Các giá trị lượng giác của các góc đặc biệt (0°, 30°, 45°, 60°, 90°) rất quan trọng và nên thuộc lòng.
• Chỉ áp dụng khi các góc nằm trong tam giác vuông hoặc bài toán phù hợp.
• Luôn kiểm tra xác định rõ cạnh nào là đối, kề, huyền để áp dụng đúng công thức.
• Không áp dụng giá trị không xác định ($\tan 90^\circ$,$\cot 0^\circ$).