1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 9, khái niệm “Đường thẳng cắt đường tròn” là một phần quan trọng của hình học phẳng. Đây là tiền đề để hiểu sâu hơn về vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn, từ đó giải các bài toán về dây cung, tiếp tuyến, secant và góc tại tiếp điểm.

Khái niệm “Đường thẳng cắt đường tròn” đề cập đến trường hợp một đường thẳng giao với đường tròn tại hai điểm phân biệt.

Hiểu rõ nội dung này sẽ giúp các em phân biệt rõ ba trường hợp: cắt (hai điểm), tiếp xúc (một điểm) và không giao (không điểm), qua đó vận dụng linh hoạt khi chứng minh và giải bài.

Trong thực tế, kiến thức này ứng dụng trong kỹ thuật thiết kế đồ họa, xây dựng cầu đường, và cả trong lập bản đồ định vị.

Các em có cơ hội luyện tập miễn phí với 100+ bài tập Đường thẳng cắt đường tròn.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

- Định nghĩa: Đường thẳng cắt đường tròn khi có hai điểm chung A, B.

- Tính chất: Tia OA và OB vuông góc phân giác góc tạo bởi tiếp tuyến tại A và B.

- Điều kiện áp dụng: Khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng d phải nhỏ hơn bán kính r.

2.2 Công thức và quy tắc

- Độ dài dây cung: $L = 2\sqrt{r^2 - d^2},$ với d là khoảng cách từ tâm đến đường thẳng.

- Điều kiện giao điểm: Phương trình hoành độ x của giao điểm thỏa$ax^2 + bx + c = 0$phải có $\Delta = b^2 - 4ac > 0.$

- Định lý lũy thừa của điểm: Nếu d cắt C tại A, B và qua C trên đường thẳng thì $PA \cdot PB = PC \cdot PD$.

Mẹo nhớ công thức: Liên tưởng 2√(r²–d²) như hình phân giác đối xứng nhau.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Bài toán: Cho đường tròn tâm O bán kính r=5 và đường thẳng d cách O một khoảng d=3. Tính độ dài dây cung AB do d cắt.

Bước 1: Xác định công thức độ dài dây cung: $L = 2\sqrt{r^2 - d^2}.$

Bước 2: Thay giá trị: $L = 2\sqrt{5^2 - 3^2} = 2\sqrt{25 - 9} = 2\sqrt{16} = 8.$

Kết quả: Độ dài dây cung AB bằng 8.

Lưu ý: Dấu √ luôn lấy giá trị dương.

3.2 Ví dụ nâng cao

Bài toán: Cho đường tròn$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 25$và đường thẳng$y = 2x - 3$. Tìm tọa độ giao điểm.

Giải: Thay$y=2x-3$vào$(x-2)^2+(2x-3+1)^2=25$ta được phương trình bậc hai về x. Kiểm tra

Kỹ thuật giải nhanh: Biến đổi về dạng$ax^2 + bx + c = 0$, dùng công thức nghiệm và kiểm tra điều kiện

4. Các trường hợp đặc biệt

- Nếu d = r thì d tiếp xúc đường tròn (tiếp tuyến).

- Nếu d > r thì d không giao với đường tròn.

- Liên hệ: Secant là đoạn thẳng cắt đường tròn, tiếp tuyến cắt tại một điểm.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

- Nhầm lẫn giữa tiếp tuyến và cát tuyến: tiếp tuyến chỉ chạm một điểm.

- Hiểu sai về khoảng cách từ tâm đến đường thẳng.

Giải pháp: Vẽ hình rõ ràng, đánh dấu tâm và khoảng cách.

5.2 Lỗi về tính toán

- Quên kiểm tra điều kiện$\Delta>0$khi giải hệ.

- Sai sót khi bình phương và khai căn.

Kiểm tra kết quả bằng cách thay lại vào công thức.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Truy cập ngay 100+ bài tập Đường thẳng cắt đường tròn miễn phí, không cần đăng ký để bắt đầu luyện tập và theo dõi tiến độ học tập.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

- Khái niệm, điều kiện cắt: d < r → hai giao điểm.

- Công thức độ dài dây cung: $L = 2\sqrt{r^2 - d^2}$.

- Luôn kiểm tra$\Delta > 0$trước khi tính giao điểm.