Blog

Giải thích chi tiết khái niệm Phép quay – Toán lớp 9

T
Tác giả
5 phút đọc
Chia sẻ:
5 phút đọc

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Phép quay là một trong những phép biến hình quen thuộc và quan trọng trong chương trình toán lớp 9 Hình học. Hiểu đúng và vận dụng thành thạo phép quay giúp học sinh giải quyết hiệu quả các bài toán liên quan đến đa giác đều, tứ giác nội tiếp, các vấn đề đối xứng cũng như các bài toán yêu cầu biến đổi hình. Trong thực tế, phép quay được ứng dụng nhiều trong đồ họa máy tính, kỹ thuật, xây dựng, thiết kế mô hình,... Nắm chắc phép quay không chỉ giúp bạn học tốt môn Toán mà còn mở ra nhiều ứng dụng thực tiễn. Đặc biệt, bạn cũng có thể luyện tập miễn phí với hơn 42.226+ bài tập phép quay tại website này!

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

• Định nghĩa: Phép quay tâmOO, góc quayα\alphalà phép biến hình biến mỗi điểmMMthành điểmMM'sao cho:

  • OM=OMOM = OM'(khoảng cách từ OO đếnMMbằng khoảng cách từ OO đếnMM')
  • MOM=α\angle MOM' = \alpha(cung lượng giác cùng chiều quay, thường là ngược chiều kim đồng hồ).

• Tính chất chính:
- Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa các điểm.
- Phép quay bảo toàn các góc và hình dạng, diện tích của hình.
- Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng, đường tròn thành đường tròn.
- Phép quay là phép dời hình.

• Điều kiện áp dụng: Phép quay xác định bởi tâm quayOOvà góc quayα\alpha. Góc quayα\alphacó thể dương hoặc âm, tương ứng với chiều ngược hoặc cùng chiều kim đồng hồ.

2.2 Công thức và quy tắc

• Biểu diễn toạ độ phép quay tâmO(0,0)O(0,0), gócα\alpha: ĐiểmM(x,y)M(x,y)sau quay thànhM(x,y)M'(x',y'):

\begin{cases} x' = x \cos\alpha - y \sin\alpha \\ y' = x \sin\alpha + y \cos\alpha \end{cases}

• Cách ghi nhớ: Hãy tưởng tượng phép quay là "xoay" một vật quanh tâm nào đó một góc nhất định. Công thức biểu diễn liên quan đến sin, cos (tương tự như chuyển động tròn).
• Điều kiện sử dụng: Công thức trên chỉ áp dụng khi hệ toạ độ gốc là O(0,0)O(0,0). Nếu tâmO(a,b)O(a,b)cần dịch chuyển hệ toạ độ về gốc.

• Biến thể: Nếu quay quanh điểmO(a,b)O(a,b), ta chuyển về gốcO(0,0)O'(0,0)trước, sau đó áp dụng công thức rồi chuyển ngược lại:

\begin{cases} x' = a + (x-a) \cos\alpha - (y-b) \sin\alpha \\ y' = b + (x-a) \sin\alpha + (y-b) \cos\alpha \end{cases}

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Cho điểmA(2,1)A(2,1). Hãy xác định tọa độ AA’của điểmAAsau phép quay tâmO(0,0)O(0,0), góc9090^\circngược chiều kim đồng hồ.

Giải chi tiết từng bước:
Bước 1: Xác địnhx=2x=2,y=1y=1,α=90\alpha=90^\circ.
Bước 2: Áp dụng công thức:

\cos 90^\circ = 0, \sin 90^\circ = 1 \Rightarrow \begin{cases} x' = x\cos\alpha - y\sin\alpha = 2\times 0 - 1\times 1 = -1\\ y' = x\sin\alpha + y\cos\alpha = 2\times 1 + 1\times 0 = 2 \end{cases} \rightarrow A'( -1; 2 )

Lưu ý: Đọc kỹ chiều góc quay, thay đúng giá trị sin, cos theo góc tương ứng để tránh lỗi.

3.2 Ví dụ nâng cao

ChoB(3,4)B(3,4), thực hiện phép quay tâmO(1,2)O(1,2), góc180180^\circ. Tìm tọa độ điểmBB'.

Bước 1: Dịch chuyển gốc về O(1,2)O(1,2): x0=31=2x_0 = 3 - 1 = 2, y0=42=2y_0 = 4 - 2 = 2.
Bước 2: Với α=180\alpha = 180^\circ, cos180=1\cos 180^\circ = -1, sin180=0\sin 180^\circ = 0.
Bước 3: Áp dụng công thức:

\begin{cases} x' = 1 + (2) \cdot (-1) - 2\cdot 0 = 1 -2 = -1\\ y' = 2 + (2)\cdot 0 + 2\cdot ( -1 ) = 2 - 2 = 0 \end{cases} \rightarrow B'( -1 ; 0 )

Mẹo: Nếu quay180180^\circquanh tâmO(a,b)O(a,b), nhanh nhất là:M(2ax, 2by)M'(2a - x,~2b - y).

4. Các trường hợp đặc biệt

  • Khiα=0\alpha = 0^\circ: Mọi điểm giữ nguyên vị trí.
  • Khiα=180\alpha = 180^\circ: Mỗi điểm đối xứng qua tâmOO.
  • Khi phép quay kết hợp với phép tịnh tiến, đối xứng, ta dễ dàng chuyển đổi các dạng bài.
  • Liên hệ: Phép quay là trường hợp riêng của phép dời hình.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

  • Nhầm lẫn phép quay với phép đối xứng tâm.
  • Quên biểu diễn đúng chiều quay (ngược hoặc cùng chiều kim đồng hồ).
  • Không nhận biết được gốc hệ tọa độ của phép quay.

5.2 Lỗi về tính toán

  • Sai giá trị sin, cos của góc quay.
  • Không trừ đi toạ độ tâm khi phép quay không qua gốc O(0,0).
  • Nhập sai công thức chuyển đổi toạ độ.

Phương pháp kiểm tra kết quả: Sau khi tìm toạ độ, nên so sánh vị trí hình học xem có hợp lý không (điểm có nằm đúng về phía quay không,...).

6. Luyện tập miễn phí ngay

Bạn có thể truy cập kho 42.226+ bài tập phép quay miễn phí, không cần đăng ký, luyện tập tức thì! Theo dõi tiến độ, cải thiện kỹ năng nhanh chóng ngay tại website.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

  • Phép quay bảo toàn khoảng cách, góc, hình dáng và diện tích.
  • Công thức toạ độ phép quay phải ghi nhớ.
    - Nếu tâm quay O(0,0)O(0,0): x=xcosαysinαx' = x \cos \alpha - y \sin \alpha,
    y=xsinα+ycosαy' = x \sin \alpha + y \cos \alpha
    - Nếu tâm quay O(a,b)O(a,b): x=a+(xa)cosα(yb)sinαx' = a + (x-a) \cos \alpha - (y-b) \sin \alpha;
    y=b+(xa)sinα+(yb)cosαy' = b + (x-a) \sin \alpha + (y-b) \cos \alpha
  • So sánh kết quả thực tế, kiểm tra lỗi tính toán.
  • Ôn tập: Làm bài tập đa dạng và thực hành thường xuyên.

Checklist ôn tập:
- Hiểu rõ định nghĩa phép quay
- Biết viết và dùng được công thức toạ độ
- Phân biệt phép quay với các phép dời hình khác
- Luyện tập với bài tập từ cơ bản đến nâng cao

T

Tác giả

Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".