Khái niệm Góc 45°: Lý thuyết, Công thức và Bài tập miễn phí cho Lớp 9

1. Giới thiệu và tầm quan trọng – Góc 45° trong Toán 9

Góc$45^\circ$là một trong những góc đặc biệt quan trọng trong chương trình Toán lớp 9, thường xuất hiện trong tam giác vuông cân và các bài toán lượng giác cơ bản.

Tại sao cần hiểu rõ khái niệm này:

- Là nền tảng cho các kiến thức hình học và lượng giác (tam giác vuông cân, hệ thức lượng…)
- Giúp giải quyết nhanh các bài toán hình học, lượng giác liên quan
- Ứng dụng trong xây dựng, kiến trúc, thiết kế kỹ thuật và đời sống hàng ngày.

Cơ hội luyện tập miễn phí với 100+ bài tập góc$45^\circ$.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

Định nghĩa và khái niệm quan trọng:
- Góc$45^\circ$là nửa góc vuông ($90^\circ$).
- Trong tam giác vuông cân, hai góc nhọn bằng nhau và bằng$45^\circ$.

Các định lý và tính chất chính:
- Trong tam giác vuông cân $ABC$vuông tại$B$, nếu $AB=BC$thì $\angle BAC=\angle ACB=45^\circ$.
- Trong hệ toạ độ, đường thẳng tạo góc $45^\circ$so với trục hoành có hệ số góc$1$.
- Giá trị lượng giác đặc biệt:
• $\sin45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}$
• $\cos45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}$
• $\tan45^\circ=1$

Điều kiện áp dụng và giới hạn:
- Chỉ sử dụng trong tam giác vuông hoặc khi chuyển đổi độ ↔ radian ($45^\circ=\tfrac{\pi}{4}$).
- Không áp dụng cho góc tù hoặc góc bẹt.

2.2 Công thức và quy tắc

Danh sách công thức cần thuộc lòng:
- $\sin45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}$
- $\cos45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}$
- $\tan45^\circ=1$

Cách ghi nhớ công thức hiệu quả:
- Tam giác vuông cân → hai cạnh góc vuông bằng nhau → sin và cos bằng nhau.
- Sử dụng bảng giá trị lượng giác đặc biệt ở các góc 45°, 135°, 225°, 315°.

Điều kiện sử dụng từng công thức:
- Giải tam giác vuông, tính tỉ số lượng giác.
- Chuyển đổi đơn vị góc khi cần ($45^\circ\leftrightarrow\tfrac{\pi}{4}$).

Các biến thể của công thức:
- $\sin(90^\circ-45^\circ)=\cos45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}$
- $\cos(90^\circ-45^\circ)=\sin45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}$
- $\tan(45^\circ+n \cdot 90^\circ)= \pm 1$ tuỳ theo góc.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Ví dụ 1: Tính $\sin45^\circ$, $\cos45^\circ$, $\tan45^\circ$.
Lời giải:
Bước 1: Nhận xét tam giác vuông cân.
Bước 2: Theo tam giác vuông cân, hai góc nhọn bằng $45^\circ$.
Bước 3: Tính:
- $\sin45^\circ=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
- $\cos45^\circ=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
- $\tan45^\circ=1$
Lưu ý: Kết quả thường viết dưới dạng vô tỉ $\tfrac{\sqrt{2}}{2}$.

3.2 Ví dụ nâng cao

Ví dụ 2: Cho tam giác vuông cân $ABC$vuông tại$B$, đường cao $BH$, biết $AB=BC=10$cm. Tính$BH$và diện tích tam giác.
Lời giải:
Bước 1: Góc$A$và $C$bằng$45^\circ$.
Bước 2: $AC=AB\sqrt{2}=10\sqrt{2}$, đường cao trên cạnh huyền:
$BH=\frac{AB \cdot BC}{AC}=\frac{10 \cdot 10}{10\sqrt{2}}=\frac{100}{10\sqrt{2}}=5\sqrt{2}\text{cm}. <br />Bước 3: Diện tích:<br />$S=\tfrac12 \cdot AB \cdot BC=\tfrac12 \cdot 10 \cdot 10=50\text{cm}^2.$

4. Các trường hợp đặc biệt

Điều kiện đặc biệt cần lưu ý:
- Góc bù: $180^\circ-45^\circ=135^\circ$, với $\sin135^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos135^\circ=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
- Góc cộng thêm: $45^\circ+360^\circ n$.
- Trên vòng lượng giác, các góc 45°, 135°, 225°, 315° có giá trị lượng giác $\pm \tfrac{\sqrt{2}}{2}$.

Cách xử lý ngoại lệ:
- Chú ý dấu sin, cos tuỳ tứ phân.
- Sử dụng bảng giá trị lượng giác đặc biệt.

Mối liên hệ với khái niệm khác:
- Vector góc $45^\circ$: $(r\cos45^\circ,\,r\sin45^\circ)$.
- Phép quay trong mặt phẳng: góc quay $45^\circ$.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

- Hiểu sai: cho rằng$45^\circ=\frac{\pi}{2}$thay vì $\tfrac{\pi}{4}$.
- Nhầm lẫn góc nhọn với góc tù hoặc góc bẹt.
Cách tránh: Luôn ghi chú mối quan hệ $45^\circ=\tfrac{\pi}{4}$và kiểm tra kích thước góc.

5.2 Lỗi về tính toán

- Viết sai công thức: $\sin45^\circ=1$hoặc$\tfrac12$.
- Quên quy đồng mẫu, quên nhân liên hợp khi rút gọn.
Phương pháp kiểm tra:
+ Đối chiếu với bảng giá trị lượng giác cơ bản.
+ Kiểm tra đơn vị đo (độ hoặc radian).

6. Luyện tập miễn phí ngay

Truy cập 100+ bài tập Góc$45^\circ$miễn phí mà không cần đăng ký.
Bắt đầu luyện tập ngay để theo dõi tiến độ và cải thiện kỹ năng!

7. Tóm tắt và ghi nhớ

Các điểm chính cần nhớ:
- $45^\circ$là nửa góc vuông, sin và cos bằng$\tfrac{\sqrt{2}}{2}$, tan $=1$.
- Mối quan hệ: $45^\circ=\tfrac{\pi}{4}$.
- Ứng dụng: tam giác vuông cân, hệ toạ độ, vector.
Checklist trước khi làm bài:
- Xác định loại tam giác và góc.
- Chuyển đổi đơn vị nếu cần.
- Sử dụng đúng công thức và kiểm tra dấu.
Kế hoạch ôn tập:
- Luyện ví dụ cơ bản và nâng cao.
- Ghi chú giá trị lượng giác đặc biệt.
- Làm thêm 100+ bài tập và kiểm tra định kỳ.