Khái niệm Góc 45° – Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 9

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán 9, góc$45°$(đọc là “góc bốn mươi lăm độ”) là một góc nhọn đặc biệt bằng nửa góc vuông ($90°$). Hiểu rõ khái niệm này giúp học sinh giải nhanh các bài toán hình học liên quan đến tam giác vuông cân và giá trị lượng giác các góc đặc biệt.

Trong thực tế, góc$45°$xuất hiện nhiều trong kiến trúc (góc mái, lan can), đồ họa máy tính (xoay đối tượng), kỹ thuật cơ khí và các ứng dụng khác. Cơ hội luyện tập miễn phí với 50+ bài tập Góc 45° miễn phí.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

Định nghĩa: Góc$45°$là góc có số đo$45°$trong hệ đo độ, bằng một nửa góc vuông. Tính chất: Trong tam giác vuông cân, hai góc nhọn đều bằng$45°$và hai cạnh kề góc vuông bằng nhau.

Giá trị lượng giác cơ bản: $\sin 45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos 45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\tan 45°=1$. Điều kiện áp dụng: Tam giác vuông cân, phân giác góc vuông, tính diện tích và độ dài cạnh.

2.2 Công thức và quy tắc

Danh sách công thức cần thuộc lòng: $\sin 45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$; \cos 45°=\frac{\sqrt{2}}{2}; \tan 45°=1. Mẹo ghi nhớ: Kết quả của $\sin$và $\cos$bằng nhau,$\tan$bằng$1$.

Biến thể với góc liên hợp: Góc $135°$ ($180°-45°$): $\sin 135°=\sin 45°$, $\cos 135°=-\cos 45°$, $\tan 135°=-1$; Góc $315°$ ($360°-45°$): $\sin 315°=-\sin 45°$, $\cos 315°=\cos 45°$, $\tan 315°=-1$.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Cho tam giác vuông$ABC$vuông tại$B$và $\widehat{ABC}=45°$,$AB=5$cm. Tính$BC$và $AC$.

Lời giải: Tam giác vuông cân nên $BC=AB=5$cm. Đường huyền:$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2}\text{cm}.$

3.2 Ví dụ nâng cao

Cho tam giác vuông cân$ABC$vuông tại$B$,$AB=10$cm. Kẻ đường cao$BD$xuống$AC$. Tính$BD$và diện tích$S_{ABC}$.

Lời giải: Huyền $AC=AB\sqrt{2}=10\sqrt{2}$cm. Đường cao:$BD=\frac{AB \cdot BC}{AC}=\frac{10 \cdot 10}{10\sqrt{2}}=5\sqrt{2}\text{cm}. Diện tích:$S_{ABC}=\frac{1}{2}AB \cdot BC=50\text{cm}^2.$

4. Các trường hợp đặc biệt

Góc$45°$kết hợp với góc vuông để tạo tam giác vuông cân, phân giác góc vuông, liên hệ với các góc$135°$,$225°$,$315°$; ứng dụng trong hình chữ nhật, đa giác đều.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

Nhầm góc$45°$với$60°$hoặc không nhận diện tam giác vuông cân, dẫn đến tính sai cạnh; cách tránh: ôn lại định nghĩa và hình vẽ minh họa.

5.2 Lỗi về tính toán

Quên dấu âm khi áp dụng biến đổi góc liên hợp, tính sai $\tan 45°$; kiểm tra kết quả bằng công thức $\sin^2 45°+\cos^2 45°=1$ hoặc so sánh với tam giác vuông cân mẫu.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Truy cập ngay 50+ bài tập Góc 45° miễn phí tại website, không cần đăng ký, theo dõi tiến độ và cải thiện kỹ năng làm bài.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

Tóm tắt: Góc $45°$là góc nhọn đặc biệt, bằng nửa góc vuông; công thức lượng giác cơ bản:$\sin45°=\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\tan45°=1$; nhận biết và giải nhanh tam giác vuông cân. Checklist ôn tập: Định nghĩa; tính chất tam giác vuông cân; công thức lượng giác; áp dụng tính cạnh, diện tích. Kế hoạch ôn tập: Mỗi ngày làm 5–10 bài tập, tự kiểm tra, so sánh phương pháp giải.