Giới thiệu và tầm quan trọng.

Trong chương trình Toán 9, khái niệm Hai đường tròn cắt nhau là nội dung quan trọng trong phần Vị trí tương đối của hai đường tròn.

Hiểu rõ khái niệm này giúp học sinh phân tích chính xác hình vẽ, áp dụng trong các bài toán hình học phẳng và phát triển kỹ năng tư duy không gian.

Ứng dụng thực tế: xác định độ giao nhau của vòng tròn, khu vực phủ sóng tín hiệu, tính phần chung giữa hai vùng tròn.

Cơ hội luyện tập miễn phí với 100+ bài tập.

Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

- Định nghĩa và khái niệm quan trọng: Hai đường tròn có tâm$A,B$và bán kính$r_1,r_2$cắt nhau nếu chúng có hai điểm chung.

- Điều kiện cắt nhau: Hai đường tròn cắt nhau khi và chỉ khi$|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$, với$d = AB$.

- Các tính chất: Nếu$d \ge r_1 + r_2$, không giao nhau; nếu$d \le |r_1 - r_2|$, một đường tròn nằm trong đường tròn còn lại hoặc tiếp xúc.

2.2 Công thức và quy tắc

- Công thức điều kiện cắt nhau:$|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$.

- Công thức tính độ dài đoạn giao chung (dây chung): $l = \frac{2}{d} \sqrt{p(p-d)(p-r_1)(p-r_2)}$, với $p = \tfrac{d + r_1 + r_2}{2}$.

- Công thức tính diện tích phần giao nhau:

$A = r_1^2 \cos^{-1}\left(\frac{d^2 + r_1^2 - r_2^2}{2 d r_1}\right) + r_2^2 \cos^{-1}\left(\frac{d^2 + r_2^2 - r_1^2}{2 d r_2}\right) - \frac{1}{2}\sqrt{(-d + r_1 + r_2)(d + r_1 - r_2)(d - r_1 + r_2)(d + r_1 + r_2)}$

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Bài toán: Cho hai đường tròn tâm$A,B$sao cho$AB = 10$,$r_1 = 6$,$r_2 = 5$. Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn.

Lời giải: Tính$|r_1 - r_2| = |6 - 5| = 1$và $r_1 + r_2 = 11$. Vì $1 < 10 < 11$, nên hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm.

Lưu ý: Luôn so sánh đúng thứ tự của bất đẳng thức.

3.2 Ví dụ nâng cao

Bài toán: Tính diện tích vùng giao nhau của hai đường tròn với$AB = 8$,$r_1 = 5$,$r_2 = 5$.

Lời giải: Áp dụng công thức diện tích giao nhau:

$A = r_1^2 \cos^{-1}\left(\frac{d^2 + r_1^2 - r_2^2}{2 d r_1}\right) + r_2^2 \cos^{-1}\left(\frac{d^2 + r_2^2 - r_1^2}{2 d r_2}\right) - \frac{1}{2}\sqrt{(-d + r_1 + r_2)(d + r_1 - r_2)(d - r_1 + r_2)(d + r_1 + r_2)}$với$d = 8$, $r_1 = r_2 = 5$ và thực hiện tính toán cụ thể.

4. Các trường hợp đặc biệt

- Trùng tâm ($d = 0$) và $r_1 = r_2$: hai đường tròn trùng nhau.

- Tiếp xúc ngoài ($d = r_1 + r_2$): tiếp xúc tại một điểm bên ngoài.

- Tiếp xúc trong ($d = |r_1 - r_2|$): tiếp xúc tại một điểm bên trong.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

- Hiểu sai định nghĩa cắt nhau với tiếp xúc.

- Nhầm lẫn các trường hợp tiếp xúc ngoài và trong.

- Cách tránh: vẽ hình minh họa, xác định rõ $d$,$r_1$,$r_2$.

5.2 Lỗi về tính toán

- Sai sót khi tính khoảng cách$d$.

- Nhầm công thức tính dây chung hoặc diện tích.

- Phương pháp kiểm tra: sử dụng ví dụ đơn giản để kiểm chứng.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Truy cập 100+ bài tập Hai đường tròn cắt nhau miễn phí.

- Không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập ngay.

- Theo dõi tiến độ học tập và cải thiện kỹ năng.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

- Điều kiện cắt nhau:$|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$.

- Ba trường hợp đặc biệt: trùng, tiếp xúc ngoài, tiếp xúc trong.

- Công thức tính dây chung và diện tích vùng giao nhau.

- Kiểm tra kết quả bằng cách xét lại điều kiện bất đẳng thức sau khi tính toán.