Khái niệm Hai đường tròn cắt nhau – Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 9

1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng

Trong chương trình Hình học 9, các kiến thức về vị trí tương đối của hai đường tròn, trong đó có trường hợp hai đường tròn cắt nhau, đóng vai trò rất quan trọng. Việc hiểu rõ hai đường tròn cắt nhau giúp giải quyết nhiều bài toán về hình học phẳng, áp dụng trong chứng minh hình học, tính toán độ dài, diện tích, và tạo nền tảng cho các bài toán khó hơn sau này.

2. Định nghĩa chính xác hai đường tròn cắt nhau

Hai đường tròn gọi là cắt nhau nếu chúng có hai điểm chung phân biệt.

Giả sử ta có hai đường tròn$(O; R)$và $(O'; R')$, với$O$,$O'$là tâm,$R$,$R'$là bán kính. Hai đường tròn này cắt nhau khi:

- Khoảng cách$OO'$giữa hai tâm thỏa mãn$|R - R'| < OO' < R + R'$- Hai điểm giao nhau nằm trên cả hai đường tròn và gọi là các giao điểm.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Xét hai đường tròn$(O; 4cm)$và $(O'; 3cm)$. Giả sử $OO' = 6cm$.

- Ta có $|4 - 3| = 1 < 6 < 7 = 4 + 3$, do đó, hai đường tròn này cắt nhau tại 2 điểm.

Minh họa hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm$A$và $B$.

Các bước xác định sự cắt nhau của hai đường tròn:

Bước 1: Tìm bán kính và tâm của mỗi đường tròn.Bước 2: Tính khoảng cách$OO'$giữa hai tâm.Bước 3: So sánh$OO'$với$|R - R'|$và $R + R'$. Nếu$|R - R'| < OO' < R + R'$, kết luận hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm.Bước 4: Xác định hai điểm cắt nhau (về lý thuyết, các vị trí các điểm này có thể xác định bằng giải hệ phương trình nếu biết tọa độ các tâm và bán kính).

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

Các vị trí tương đối khác của hai đường tròn (ngoài trường hợp cắt nhau):

a. Hai đường tròn cắt nhau:$|R - R'| < OO' < R + R'$.b. Tiếp xúc ngoài:$OO' = R + R'$(2 đường tròn chạm nhau ngoài tại 1 điểm duy nhất).c. Tiếp xúc trong:$OO' = |R - R'|$(2 đường tròn chạm nhau trong tại 1 điểm duy nhất).d. Hai đường tròn không cắt nhau, không tiếp xúc (rời nhau ngoài):$OO' > R + R'$.e. Một đường tròn nằm toàn bộ trong đường tròn còn lại (rời nhau trong):$OO' < |R - R'|$.f. Hai đường tròn đồng tâm:$OO' = 0$; nếu$R \neq R'$thì không có giao điểm.

- Lưu ý: Để đúng định nghĩa "cắt nhau",$OO'$phải lớn hơn hiệu tuyệt đối hai bán kính và nhỏ hơn tổng hai bán kính.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Hai đường tròn cắt nhau thường gắn liền với:

- Trục đối xứng của hai đường tròn (trục đẳng phương).- Các điểm giao nhau có thể là giao điểm của các tiếp tuyến chung.- Ứng dụng trong tam giác ngoại tiếp, nội tiếp, các bài toán quỹ tích.- Liên hệ đến hệ tọa độ khi viết phương trình hai đường tròn cắt nhau.

6. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài tập 1: Cho hai đường tròn$(O; 5cm)$và $(O'; 4cm)$. Tính các giá trị $OO'$ để hai đường tròn:

a. Cắt nhaub. Tiếp xúc ngoàic. Nằm trong nhau mà không cắt nhau

Lời giải:

a. Hai đường tròn cắt nhau khi$|5-4| < OO' < 5+4 \implies 1 < OO' < 9$(cm)

b. Tiếp xúc ngoài khi$OO' = 5+4 = 9$(cm)

c. Một nằm trong một không cắt nhau khi$0 \leq OO' < |5 - 4| = 1$(cm)

Bài tập 2: Viết phương trình hai đường tròn$(O; 3)$và $(O'; 4)$trên mặt phẳng với$O(0;0)$,$O'(5;0)$. Kiểm tra chúng có cắt nhau hay không.

Lời giải:

Phương trình đường tròn$(O; 3)$:$x^2 + y^2 = 9$;$(O'; 4)$:$(x-5)^2 + y^2 = 16$.
Khoảng cách$OO' = 5$,$|3-4| = 1 < 5 < 7 = 3+4$. Vậy hai đường tròn này cắt nhau.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Nhầm lẫn giữa các trường hợp tiếp xúc và cắt nhau (chỉ cắt khi$|R-R'| < OO' < R+R'$).- Bỏ qua trường hợp hai đường tròn đồng tâm hoặc một nằm trong đường tròn kia.- Tính sai hiệu/tổng hai bán kính hoặc nhập sai dữ liệu bán kính-tâm.- Không chú ý đơn vị đo lường, dẫn đến tính toán sai.

8. Tóm tắt và điểm chính cần nhớ

- Hai đường tròn cắt nhau khi$|R-R'| < OO' < R+R'$.
- Có đúng hai điểm giao nhau.
- Phân biệt các vị trí tương đối: cắt, tiếp xúc, nằm trong, rời ngoài…
- Xác định được giao điểm qua phương trình hoặc hình vẽ.
- Thường xuyên luyện tập với bài tập đa dạng để tránh nhầm lẫn các trường hợp.