1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Khái niệm Hai đường tròn tiếp xúc nhau trong chương trình toán học lớp 9.

Tại sao cần hiểu rõ khái niệm này: Giúp học sinh nắm vững vị trí tương đối của hai đường tròn, phục vụ giải bài tập hình học một cách chính xác.

Ứng dụng thực tế: Thiết kế bánh xe, bánh răng, chi tiết cơ khí, phân tích chuyển động quay và các bài toán kỹ thuật.

Cơ hội luyện tập miễn phí với 42.227+ bài tập.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

- Định nghĩa và khái niệm quan trọng: Hai đường tròn tiếp xúc nếu chúng chỉ có đúng một điểm chung.

- Các định lý và tính chất chính: Khoảng cách giữa hai tâm$d$so với tổng hoặc hiệu bán kính quyết định tiếp xúc ngoài hoặc trong.

- Điều kiện áp dụng và giới hạn: Áp dụng khi cả hai đường tròn không trùng nhau và bán kính đều dương.

2.2 Công thức và quy tắc

- Danh sách công thức cần thuộc lòng:

+ Công thức tiếp xúc ngoài:$d = R + r$

+ Công thức tiếp xúc trong:$d = |R - r|$

- Cách ghi nhớ công thức hiệu quả: Ghi nhớ “ngoài – cộng”, “trong – trừ”.

- Điều kiện sử dụng từng công thức: Dùng$d=R+r$khi đường tròn ngoài nhau, dùng$d=|R-r|$khi một đường tròn nằm trong đường tròn kia.

- Các biến thể của công thức: Có thể áp dụng cho các đường tròn đồng tâm đặc biệt hoặc trường hợp rẽ nhánh.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Bài toán: Cho hai đường tròn$(O_1)$bán kính$R=5$và $(O_2)$bán kính$r=3$, biết khoảng cách giữa hai tâm là $d=8$. Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn.

Giải:

Bước 1: Tính$R + r = 5 + 3 = 8$và $|R - r| = |5 - 3| = 2$.

Bước 2: So sánh$d$với$R+r$và $|R-r|$:$d = 8 = R+r$nên hai đường tròn tiếp xúc ngoài.

Lưu ý: Khi$d=R+r$thì tiếp xúc ngoài, khi$d=|R-r|$thì tiếp xúc trong.

3.2 Ví dụ nâng cao

Bài toán: Cho hai đường tròn$(O_1)$có tâm$O_1(0,0)$bán kính$R=5$và $(O_2)$có tâm$O_2(x,0)$bán kính$r=2$. Xác định giá trị $x$ để hai đường tròn tiếp xúc ngoài và tiếp xúc trong.

Giải:

- Tiếp xúc ngoài:$|O_1O_2| = x = R + r = 5 + 2 = 7$.

- Tiếp xúc trong:$x = |R - r| = |5 - 2| = 3$.

Kỹ thuật giải nhanh: Sử dụng hệ toạ độ, đặt tâm gốc và xác định$d$theo hoành độ.

4. Các trường hợp đặc biệt

-$d > R + r$: Hai đường tròn ngoài nhau, không tiếp xúc.

-$|R - r| < d < R + r$: Hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm.

-$d < |R - r|$: Một đường tròn nằm hoàn toàn bên trong đường tròn kia, không tiếp xúc.

-$d = 0$và $R = r$: Hai đường tròn trùng nhau, vô số điểm chung.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

- Nhầm lẫn điều kiện tiếp xúc ngoài và tiếp xúc trong.

- Hiểu sai vị trí tương đối khi$|R - r| < d < R + r$.

- Cách tránh: Luôn vẽ hình minh hoạ và ghi rõ điều kiện.

5.2 Lỗi về tính toán

- Quên giá trị tuyệt đối khi tính$|R - r|$.

- Nhầm lẫn giữa$R+r$và $|R-r|$.

- Phương pháp kiểm tra: So sánh lại$d$,$R+r$,$|R-r|$và kiểm chứng bằng máy tính.

6. Luyện tập miễn phí ngay

- Truy cập 42.227+ bài tập Hai đường tròn tiếp xúc nhau miễn phí.

- Không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập ngay lập tức.

- Theo dõi tiến độ học tập và cải thiện kỹ năng.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

- Khi$d = R+r$→ Tiếp xúc ngoài.

- Khi$d = |R-r|$→ Tiếp xúc trong.

- Khi$|R-r| < d < R+r$→ Hai đường tròn cắt nhau.

- Khi$d < |R-r|$hoặc$d > R+r$→ Không tiếp xúc.

- Trước khi giải, vẽ hình và ghi rõ $d$,$R$,$r$.

- Luyện tập thường xuyên để ghi nhớ công thức và kỹ năng.