1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán học lớp 9, khái niệm "Hai đường tròn tiếp xúc nhau" là một nội dung trọng tâm thuộc chủ đề hình học, đặc biệt quan trọng trong việc học về vị trí tương đối của hai đường tròn. Hiểu và vẽ đúng hai đường tròn tiếp xúc sẽ giúp các bạn thành thạo hơn khi chứng minh, giải bài tập cũng như áp dụng vào các bài toán thực tế về đường tròn.

Việc nắm chắc khái niệm này không chỉ phục vụ cho các bài kiểm tra trên lớp mà còn là nền tảng cho những kiến thức nâng cao hơn về hình học. Thực tế, các ứng dụng như thiết kế bánh răng, kiến trúc, hay kỹ thuật cơ khí đều sử dụng những nguyên lý về tiếp xúc giữa các vật thể tròn.

Bạn có thể luyện tập miễn phí với 42.227+ bài tập Hai đường tròn tiếp xúc nhau miễn phí ngay tại đây để kiểm tra và nâng cao kỹ năng của mình!

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

- Định nghĩa: Hai đường tròn gọi là tiếp xúc nhau nếu chúng có một điểm chung duy nhất.

- Có hai loại tiếp xúc: Tiếp xúc ngoài và tiếp xúc trong.

- Các định lý liên quan: Nếu hai đường tròn tiếp xúc thì tâm của chúng và điểm tiếp xúc sẽ thẳng hàng.

- Giới hạn: Hai đường tròn chỉ tiếp xúc khi chúng cắt nhau tại đúng một điểm. Nếu cắt nhau tại hai điểm hoặc không có điểm chung, chúng không tiếp xúc.

2.2 Công thức và quy tắc

• - Hai đường tròn (O; R) và (O'; R') tiếp xúc ngoài nếu và chỉ nếu:
• $OO' = R + R'$
• - Hai đường tròn (O; R) và (O'; R') tiếp xúc trong nếu và chỉ nếu:
• $OO' = |R - R'|$

Quy tắc ghi nhớ: Tiếp xúc ngoài thì cộng bán kính, tiếp xúc trong thì lấy hiệu (giá trị tuyệt đối) hai bán kính.

Điều kiện sử dụng: Phải xác định rõ vị trí tương đối của hai đường tròn thông qua khoảng cách tâm, bán kính.

Biến thể công thức: Có thể đổi sang bài toán liên quan (như tìm bán kính hoặc vị trí tiếp xúc) bằng cách chuyển vế trong công thức.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Cho hai đường tròn (O; 3cm) và (O'; 2cm), khoảng cách giữa hai tâm là 5cm. Chứng minh hai đường tròn này tiếp xúc ngoài.

• Bước 1: Xác định bán kính$R = 3$cm,$R' = 2$cm,$OO' = 5$cm.
• Bước 2: Áp dụng công thức tiếp xúc ngoài:
• $OO' = R + R' = 3 + 2 = 5\text{cm}$
• Kết luận: Hai đường tròn tiếp xúc ngoài vì $OO' = R + R'$.

Lưu ý: Đọc kỹ đề để tránh nhầm dấu cộng/trừ trong công thức!

3.2 Ví dụ nâng cao

Cho hai đường tròn (O; 7cm) và (O'; 2cm). Nhập khoảng cách của OO' sao cho hai đường tròn: (a) Tiếp xúc trong? (b) Tiếp xúc ngoài?

• - (a) Tiếp xúc trong:
• $OO' = |R - R'| = |7 - 2| = 5\text{cm}$
• - (b) Tiếp xúc ngoài:
• $OO' = R + R' = 7 + 2 = 9\text{cm}$

- Kỹ thuật giải nhanh: Luôn kiểm tra đơn vị và thứ tự phép tính, tránh nhầm tiếp xúc trong với ngoài.

4. Các trường hợp đặc biệt

- Nếu hai đường tròn đồng tâm ($OO' = 0$), chúng không tiếp xúc mà "chồng lên nhau".

- Nếu$R = R'$, tiếp xúc trong thì $OO' = 0$, thực tế là hai đường tròn trùng nhau.

- Nếu$OO' > R + R'$, hai đường tròn rời nhau, không tiếp xúc.

- Nếu$|R - R'| < OO' < R + R'$, hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm, không phải tiếp xúc.

- Trường hợp ngoại lệ: Nếu$R$hoặc$R'$bằng 0 thì chỉ còn một điểm (tức là đường tròn nhỏ nhất biến thành điểm), không còn khái niệm tiếp xúc.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

• - Nhầm lẫn giữa tiếp xúc và cắt nhau tại hai điểm.
• - Hiểu sai về tiếp xúc trong và ngoài (hay nhầm vị trí).
• - Phân biệt: Tiếp xúc là duy nhất một điểm chung – nếu có hai điểm chung là cắt nhau!

5.2 Lỗi về tính toán

• - Nhập sai giá trị bán kính, đơn vị đo.
• - Nhầm lẫn giữa$R + R'$và $|R - R'|$khi áp dụng công thức.
• - Cách kiểm tra: Vẽ hình minh họa, kiểm tra số liệu và loại tiếp xúc.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Bạn có thể truy cập 42.227+ bài tập Hai đường tròn tiếp xúc nhau miễn phí trên hệ thống. Không cần đăng ký – bắt đầu luyện tập và kiểm tra tiến độ của mình ngay để thành thạo chủ đề này.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

• - Hai đường tròn tiếp xúc: chỉ có một điểm chung.
• - Tiếp xúc ngoài$\Rightarrow OO' = R + R'$; Tiếp xúc trong$\Rightarrow OO' = |R - R'|$.
• - Đọc kỹ đề, xác định đúng loại tiếp xúc.
• - Vẽ hình giúp tránh nhầm lẫn và hiểu bài tốt hơn.

Checklist trước khi làm bài:

• - Đọc kỹ đề và xác định rõ bán kính, vị trí tâm,
• - Xem có yêu cầu tìm tiếp xúc trong hay ngoài.
• - Áp dụng đúng công thức và kiểm tra lại kết quả.

Ôn tập hiệu quả: Học lý thuyết kết hợp làm nhiều dạng bài khác nhau, luyện tập thường xuyên trên hệ thống để ghi nhớ và ứng dụng thành thạo!