Blog

Lớp 9

Hai đường tròn tiếp xúc nhau: Khái niệm, tính chất và ứng dụng thực tế (Toán 9)

T
Tác giả
•
•5 phút đọc
Chia sẻ:
5 phút đọc

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 9, hai đường tròn tiếp xúc nhau là một khái niệm quan trọng giúp học sinh hiểu rõ hơn về vị trí tương đối của các hình trong mặt phẳng. Việc nắm vững khái niệm này giúp giải quyết hiệu quả các bài toán hình học về tiếp xúc, ứng dụng tính toán, dựng hình và cả trong thực tế như thiết kế bánh răng, trục quay… Nắm vững lý thuyết về hai đường tròn tiếp xúc nhau cũng giúp học sinh nâng cao tư duy logic và khả năng suy luận hình học. Ngoài ra, bạn còn có thể luyện tập Hai đường tròn tiếp xúc nhau miễn phí với hơn 42.227 bài tập thực tế để hiểu sâu hơn.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

• Định nghĩa: Hai đường tròn gọi là tiếp xúc nhau nếu chúng có đúng một điểm chung duy nhất. Điểm này gọi là điểm tiếp xúc. Hai đường tròn tiếp xúc có hai loại:

- Tiếp xúc ngoài: Hai đường tròn nằm ngoài nhau, tiếp xúc tại một điểm.

- Tiếp xúc trong: Một đường tròn nằm trong đường tròn kia và tiếp xúc tại một điểm.

• Tính chất: Ba tâm và điểm tiếp xúc luôn thẳng hàng.

• Điều kiện tiếp xúc: Với hai đường tròn (O; R), (O'; r):

- Tiếp xúc ngoài:OO′=R+rOO' = R + r

- Tiếp xúc trong:OO′=∣R−r∣OO' = |R - r|

2.2 Công thức và quy tắc

- Công thức cần nhớ:

  • OO′=R+rOO' = R + r(tiếp xúc ngoài)
  • OO′=∣R−r∣OO' = |R - r|(tiếp xúc trong)

    • - Cách ghi nhớ:

  • Tiếp xúc ngoài cộng hai bán kính.
  • Tiếp xúc trong lấy trị tuyệt đối hiệu hai bán kính.

    • - Điều kiện sử dụng công thức:

  • Áp dụng khi hai đường tròn có duy nhất 1 điểm chung

    • - Biến thể:

  • NếuOO′>R+rOO' > R + r, hai đường tròn rời nhau.
  • NếuOO′<∣R−r∣OO' < |R - r|, đường tròn nhỏ nằm trong nhưng không tiếp xúc.

    • 3. Ví dụ minh họa chi tiết

    3.1 Ví dụ cơ bản

    Bài toán: Cho hai đường tròn (O; 2cm), (O'; 3cm) tiếp xúc nhau ngoài tại điểm A. Tính khoảng cáchOO′OO'?

    Giải:

  • Áp dụng công thức tiếp xúc ngoài:OO′=R+r=2+3=5OO' = R + r = 2 + 3 = 5(cm)

    • Vậy khoảng cách giữa hai tâm là 55(cm).

    Lưu ý: Nếu đề bài hỏi tiếp xúc trong, phải lấy∣2–3∣=1|2 – 3| = 1(cm).

    3.2 Ví dụ nâng cao

    Bài toán: Cho hai đường tròn (O; 5cm), (O'; r), biết khoảng cáchOO′=8OO' = 8cm. Hỏirrnhận giá trị nào để hai đường tròn tiếp xúc nhau?

    Giải:

  • + Trường hợp tiếp xúc ngoài:OO′=R+r⇒8=5+r⇒r=3OO' = R + r \Rightarrow 8 = 5 + r \Rightarrow r = 3(cm)
  • + Trường hợp tiếp xúc trong:OO′=∣R−r∣⇒8=∣5−r∣⇒r=13OO' = |R - r| \Rightarrow 8 = |5 - r| \Rightarrow r = 13(cm) hoặcr=−3r = -3(loại)

    • =>r=3r = 3(tiếp xúc ngoài) hoặcr=13r = 13(tiếp xúc trong).

    Kỹ thuật giải nhanh: Luôn vẽ hình, xác định đúng loại tiếp xúc để đặt công thức phù hợp.

    4. Các trường hợp đặc biệt

  • NếuR=rR = rvà hai đường tròn tiếp xúc thì OO′=2ROO' = 2R(tiếp xúc ngoài),OO′=0OO' = 0(trùng tâm)
  • NếuOO′=0OO' = 0mà R≠rR \neq r, hai đường tròn đồng tâm, không tiếp xúc.
  • Liên hệ với các vị trí tương đối khác: trùng nhau, cắt nhau, rời nhau,…

    • 5. Lỗi thường gặp và cách tránh

    5.1 Lỗi về khái niệm

  • Nhầm lẫn tiếp xúc ngoài và tiếp xúc trong.
  • Không xác định đúng điểm tiếp xúc duy nhất.
  • Nhầm lẫn với trường hợp hai đường tròn cắt nhau hoặc đồng tâm.

    • - Cách ghi nhớ: Vẽ thật nhiều hình, nhớ “tiếp xúc”: chỉ một điểm chung duy nhất.

    5.2 Lỗi về tính toán

  • Quên lấy trị tuyệt đối khi tính tiếp xúc trong.
  • Lẫn lộn cộng và trừ hai bán kính.
  • Sai số đơn vị đo.

    • - Kiểm tra kết quả: Thay số ngược lại vào công thức để đối chiếu.

    6. Luyện tập miễn phí ngay

    Bạn có thể truy cập ngay 42.227+ bài tập Hai đường tròn tiếp xúc nhau miễn phí mà KHÔNG CẦN ĐĂNG KÝ, bắt đầu luyện tập trực tiếp và theo dõi tiến độ để cải thiện kỹ năng giải toán.

    7. Tóm tắt và ghi nhớ

  • Hai đường tròn tiếp xúc nhau có duy nhất một điểm chung.
  • Công thức cơ bản:OO′=R+rOO' = R + r(tiếp xúc ngoài),OO′=∣R−r∣OO' = |R - r|(tiếp xúc trong).
  • Luôn vẽ hình để xác định chính xác loại tiếp xúc.
  • Kiểm tra kỹ phép tính, lưu ý lấy trị tuyệt đối.
  • Ôn lại vị trí tương đối của hai đường tròn để phân biệt rõ các trường hợp.

    • Bảng checklist trước khi làm bài:

  • [ ] Ghi nhớ và nhận diện đúng hai loại tiếp xúc
  • [ ] Nhận diện đúng điểm tiếp xúc duy nhất
  • [ ] Biết rõ công thức và điều kiện áp dụng
  • [ ] Đã kiểm tra lại kết quả

    • Kế hoạch ôn tập hiệu quả: Luyện bài tập 42.227+ lần lượt từ dễ đến khó, tự vẽ hình minh họa và nhớ kiểm tra lại lời giải.

    T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".