Blog

Giải thích chi tiết về Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn cho học sinh lớp 9

T
Tác giả
8 phút đọc
Chia sẻ:
9 phút đọc

1. Giới thiệu về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Khi học môn toán lớp 9, các em sẽ gặp một khái niệm quan trọng là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. Đây là nền tảng cho nhiều bài toán thực tế và các dạng toán khó hơn về sau. Việc nắm vững cách giải và hiểu rõ khái niệm này không chỉ giúp các em làm tốt bài kiểm tra, mà còn xây dựng tư duy logic và khả năng phân tích vấn đề.

2. Định nghĩa hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình gồm hai phương trình bậc nhất (tức là bậc cao nhất của biến là 1) với hai ẩn số (thường là xxyy). Dạng tổng quát của hệ là:

{a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\a_2x + b_2y = c_2 \\\end{cases}

Trong đó a1,b1,c1,a2,b2,c2a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2là các số đã cho,xxyylà hai ẩn số cần tìm.

3. Các bước giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn với ví dụ minh hoạ

Có ba phương pháp phổ biến để giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: phương pháp thế, phương pháp cộng đại số, và phương pháp đồ thị. Dưới đây chúng ta sẽ tìm hiểu từng phương pháp với ví dụ minh hoạ.

Phương pháp 1: Phương pháp thế

Ví dụ: Giải hệ phương trình

{2x+3y=7xy=1\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\x - y = 1 \\\end{cases}

Bước 1: Chọn một trong hai phương trình để biểu diễn một ẩn theo ẩn kia. Ở đây, từ phương trình thứ hai:xy=1x=y+1x - y = 1 \Rightarrow x = y + 1.

Bước 2: Thế x=y+1x = y + 1vào phương trình đầu:2(y+1)+3y=72(y + 1) + 3y = 7.

2y+2+3y=75y=5y=12y + 2 + 3y = 7 \Rightarrow 5y = 5 \Rightarrow y = 1

Bước 3: Thayy=1y = 1lại vàox=y+1x = y + 1:x=1+1=2x = 1 + 1 = 2.

Vậy hệ có nghiệm duy nhất(x,y)=(2,1)(x, y) = (2, 1).

Phương pháp 2: Phương pháp cộng đại số

Ví dụ: Giải hệ phương trình

{3x+2y=82x2y=2\begin{cases} 3x + 2y = 8 \\ 2x - 2y = 2 \\\end{cases}

Bước 1: Cộng hai phương trình để khử yy.

(3x+2y)+(2x2y)=8+2(3x + 2y) + (2x - 2y) = 8 + 2

5x=10x=25x = 10 \Rightarrow x = 2

Bước 2: Thayx=2x = 2vào phương trình đầu:3x+2y=83×2+2y=86+2y=82y=2y=13x + 2y = 8 \Rightarrow 3 \times 2 + 2y = 8 \Rightarrow 6 + 2y = 8 \Rightarrow 2y = 2 \Rightarrow y = 1

Kết luận: Hệ có nghiệm duy nhất(x,y)=(2,1)(x, y) = (2, 1).

Phương pháp 3: Phương pháp đồ thị

Với mỗi phương trình, ta vẽ được một đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ xyxy. Nghiệm của hệ là tọa độ giao điểm của hai đường thẳng.

Ví dụ: Giải hệ:

{x+y=3xy=1\begin{cases} x + y = 3 \\x - y = 1 \\\end{cases}

Ta vẽ hai đường thẳng:
-x+y=3x + y = 3(qua các điểm(0,3)(0, 3)(3,0)(3, 0))
-xy=1x - y = 1(qua các điểm(1,0)(1, 0)(0,1)(0, -1))

Giao điểm của hai đường này là nghiệm của hệ:(x,y)=(2,1)(x, y) = (2, 1).

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

Một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có thể xảy ra ba trường hợp sau:

Hình minh họa: Đồ thị hai đường thẳng x + y = 3 (qua các điểm (0, 3) và (3, 0)) và x - y = 1 (qua các điểm (1, 0) và (0, -1)) trên mặt phẳng tọa độ xy, với giao điểm (2, 1) là nghiệm của hệ phương trình
Đồ thị hai đường thẳng x + y = 3 (qua các điểm (0, 3) và (3, 0)) và x - y = 1 (qua các điểm (1, 0) và (0, -1)) trên mặt phẳng tọa độ xy, với giao điểm (2, 1) là nghiệm của hệ phương trình

- Hệ có nghiệm duy nhất: Hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm.
- Hệ vô nghiệm: Hai đường thẳng song song.
- Hệ có vô số nghiệm: Hai đường thẳng trùng nhau.

Lưu ý: Khi giải hệ, nếu sau khi biến đổi ta thu được một phương trình vô lý (ví dụ,0x+0y=50x + 0y = 5), thì hệ vô nghiệm. Nếu được đẳng thức đúng (ví dụ 0x+0y=00x + 0y = 0), hệ có vô số nghiệm.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Việc giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn liên quan mật thiết tới kiến thức về phương trình bậc nhất một ẩn, phương trình đường thẳng, giao điểm của hai đường thẳng và là bài học nền tảng cho toán đại số cao cấp hơn như hệ phương trình tuyến tính nhiều ẩn, ma trận, hay đồ thị.

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1. Giải hệ phương trình:

{4xy=52x+3y=7\begin{cases} 4x - y = 5 \\ 2x + 3y = 7 \\\end{cases}

Giải:
- Nhân phương trình (1) với 3:12x3y=1512x - 3y = 15
- Giữ phương trình (2):2x+3y=72x + 3y = 7
- Cộng hai phương trình:
12x3y+2x+3y=15+714x=2212x - 3y + 2x + 3y = 15 + 7 \Rightarrow 14x = 22
x=2214=117\Rightarrow x = \frac{22}{14} = \frac{11}{7}

- Thayx=117x = \frac{11}{7}vào (1):
4×117y=54 \times \frac{11}{7} - y = 5
447y=5\Rightarrow \frac{44}{7} - y = 5
y=5447=35447=97\Rightarrow -y = 5 - \frac{44}{7} = \frac{35 - 44}{7} = -\frac{9}{7}
y=97\Rightarrow y = \frac{9}{7}

Vậy nghiệm:(x,y)=(117,97)(x, y) = \left(\frac{11}{7}, \frac{9}{7}\right)

Bài tập 2. Giải hệ phương trình:

{x+2y=52x+4y=10\begin{cases} x + 2y = 5 \\ 2x + 4y = 10 \\\end{cases}

Giải:
- Nhận xét: Phương trình sau là 2 lần phương trình đầu, vậy hai đường thẳng trùng nhau.
- Do đó hệ có vô số nghiệm, nghiệm là tất cả cặp số (x,y)(x, y)thỏa mãnx+2y=5x + 2y = 5.

Bài tập 3. Giải hệ phương trình:

{x+y=22x+2y=5\begin{cases} x + y = 2 \\ 2x + 2y = 5 \\\end{cases}

Giải:
- Phương trình (2) là 2 lần phương trình (1) nếu hiệu vế phải cũng gấp đôi, nhưng2×2=452 \times 2 = 4 \ne 5. Điều này dẫn tới phương trình vô lý nếu trừ đi.
- Lấy (2) trừ 2×2 \times(1):0x+0y=10x + 0y = 1 \RightarrowVô lý, hệ vô nghiệm.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Nhân nhầm khi cộng/trừ phương trình: Luôn kiểm tra lại phép nhân hệ số trước khi cộng hoặc trừ hai phương trình.
- Thay thế sai biến vào phương trình còn lại: Ghi chép rõ ràng từng bước.
- Không chú ý đến các trường hợp đặc biệt (vô nghiệm hoặc vô số nghiệm): Chú ý nhận xét các dạng hệ song song, trùng nhau qua so sánh tỉ số hệ số.
- Ghi thiếu dấu ngoặc hoặc sai dấu++,-: Khi thực hiện phép thế hoặc cộng trừ phải cẩn thận với dấu.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn mô tả mối quan hệ giữa hai đại lượng chưa biết thông qua hai phương trình tuyến tính.
- Có ba phương pháp giải cơ bản: thế, cộng đại số và đồ thị.
- Ba trường hợp xảy ra: một nghiệm duy nhất, vô nghiệm, hoặc vô số nghiệm.
- Nhận diện dạng hệ bằng cách so sánh tỉ số các hệ số.
- Việc luyện tập thường xuyên sẽ giúp các em thành thạo và áp dụng tốt vào thực tế.

T

Tác giả

Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".