Giải thích chi tiết Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn cho học sinh lớp 9

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Khái niệm: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn gồm hai phương trình tuyến tính đồng thời chứa hai ẩn số $x,y$, thường viết dưới dạng:

.

Tại sao cần hiểu rõ khái niệm này: Giúp giải các bài toán liên quan đến nhiều đại lượng, tăng cường tư duy lập luận và logic.

Ứng dụng thực tế: Giải bài toán tỉ lệ, cân bằng chi phí – doanh thu, phân tích kinh tế và nhiều bài toán kỹ thuật.

Cơ hội luyện tập miễn phí với 100+ bài tập.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

Định nghĩa: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng:

với$a_i,b_i,c_i$là hằng số.

Các tính chất chính: Tính toán định thức$\Delta=a_1b_2-a_2b_1$ để xét nghiệm.

Điều kiện áp dụng: Phương pháp Cramer khi$\Delta \neq 0$. Nếu$\Delta=0$cần xét thêm$\Delta_x,\Delta_y$.

2.2 Công thức và quy tắc

1) Phương pháp thế: Giải một phương trình theo một ẩn rồi thế vào phương trình kia.

2) Phương pháp cộng đại số: Nhân để hệ số một ẩn bằng nhau rồi cộng hoặc trừ hai phương trình.

3) Công thức Cramer: Với hệ

thì:với$\Delta=a_1b_2-a_2b_1$.

Mẹo ghi nhớ: Tưởng tượng định thức như diện tích hình chữ nhật xoay biến.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Ví dụ: Giải hệ

.

Bước 1: Từ phương trình thứ nhất,$y=5-x$.

Bước 2: Thế vào phương trình hai:$2x-(5-x)=1\implies3x-5=1\implies x=2$.

Bước 3: Thay$x=2$vào$y=5-x$ được$y=3$. Vậy nghiệm là $(2,3)$.

Lưu ý: Luôn kiểm tra lại nghiệm bằng cách thế vào cả hai phương trình.

3.2 Ví dụ nâng cao

Ví dụ: Một cửa hàng bán tổng cộng 100 cây bút và thước, bút giá 3k, thước giá 2k, doanh thu 260k. Hệ:

.

Giải nhanh bằng cộng: Nhân (1) với 2:$2x+2y=200$. Trừ:$(3x+2y)-(2x+2y)=260-200\implies x=60$, suy ra$y=40$.

Kết quả: 60 chiếc bút và 40 chiếc thước.

4. Các trường hợp đặc biệt

Nếu$\Delta \neq 0$: nghiệm duy nhất. Nếu$\Delta=0$và $\Delta_x=\Delta_y=0$: vô số nghiệm. Nếu$\Delta=0$nhưng một trong$\Delta_x,\Delta_y \neq 0$: vô nghiệm.

Liên hệ hình học: Hai đường thẳng tương ứng cắt nhau, song song hoặc trùng nhau.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

- Nhầm lẫn giữa hệ phương trình và phương trình đơn lẻ.
- Không phân biệt rõ hai ẩn độc lập.

5.2 Lỗi về tính toán

- Quên nhân hệ số trước khi cộng.
- Sai dấu khi thế.
- Bỏ quên bước kiểm tra nghiệm.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Truy cập 100+ bài tập Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn miễn phí. Không cần đăng ký, bắt đầu luyện ngay và theo dõi tiến độ học tập.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

- Hình thức chung:

- Phương pháp: thế, cộng, Cramer.
- Xét nghiệm: dựa vào$\Delta,\Delta_x,\Delta_y$.
- Luôn kiểm tra nghiệm.

Checklist trước khi giải: đặt ẩn, chọn pp, giải, kiểm tra. Kế hoạch ôn tập: mỗi ngày 5 bài trong 2 tuần.