Hệ phương trình dạng {ax + by = c, a'x + b'y = c'}: Giải thích chi tiết và hướng dẫn dành cho học sinh lớp 9
1. Giới thiệu về hệ phương trình dạng {ax + by = c, a'x + b'y = c'} và tầm quan trọng
Trong chương trình Toán 9, "hệ phương trình bậc nhất hai ẩn" là kiến thức nền tảng quan trọng, đặt nền móng cho việc học đại số và các bài toán thực tế sau này. Một trong những dạng phổ biến và cơ bản nhất là hệ phương trình dạng:
Kiến thức này không chỉ giúp học sinh phát triển kỹ năng tư duy logic, phương pháp giải quyết vấn đề mà còn áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của Toán học, Khoa học và đời sống, ví dụ như: bài toán tìm hai số, tìm tọa độ điểm giao nhau của hai đường thẳng, giải quyết các bài toán chuyển động, bài toán kinh tế, v.v.
2. Định nghĩa hệ phương trình dạng {ax + by = c, a'x + b'y = c'}
Hệ phương trình dạng
là hệ gồm hai phương trình bậc nhất (bậc nhất tức là biến số chỉ có số mũ là 1) với hai ẩn số và .
Trong đó:là những số đã biết (hệ số);không đồng thời bằng 0.
Mục đích của việc giải hệ là đi tìm một cặp số thoả mãn đồng thời cả hai phương trình.
3. Các bước giải hệ và ví dụ minh họa
Có ba phương pháp cơ bản để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn dạng này:
Ví dụ minh họa bằng phương pháp thế
Giải hệ:
Bước 1: Từ phương trình (1):, ta dễ dàng rút:
Bước 2: Thayvào (2):
Bước 3: Thayvào (1):
Vậy nghiệm hệ là:.
Ví dụ minh họa bằng phương pháp cộng đại số
Giải hệ:
Nhận thấy hệ số của ở hai phương trình là đối nhau. Cộng hai phương trình:
Thayvào (1):
Vậy nghiệm hệ là:,.
4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng
Có thể xảy ra 3 trường hợp với hệ phương trình này:
Cách nhận biết:
-: Hệ có nghiệm duy nhất.
-: Hệ vô nghiệm.
-: Hệ có vô số nghiệm.
5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác
Hệ phương trình dạng này liên quan mật thiết với hình học phẳng, bởi mỗi phương trình tuyến tính hai ẩn chính là phương trình của một đường thẳng trên mặt phẳng Toạ độ . Việc giải hệ là tìm hoành độ, tung độ của điểm giao nhau (nếu có), tức nghiệm chung của hai phương trình.
Bên cạnh đó, các phương pháp giải hệ này cũng chính là nền tảng để học sinh làm quen với hệ nhiều phương trình nhiều ẩn và các phép biến đổi đại số trong chương trình trung học phổ thông.
6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết
Bài tập 1: Giải hệ sau:
Giải:
Rúttừ (1):.
Thay vào (2):.
Thay vào (1):.
Vậy nghiệm hệ là ,.
Bài tập 2: Giải hệ:
Cộng (1) và (2):.
Thayvào (1):.
Vậy nghiệm hệ là ,.
7. Các lỗi thường gặp và cách tránh
Luôn kiểm tra lại từng phép tính sau khi thực hiện phép chuyển vế hoặc nhân với số âm.
Sau khi tìm đượcvà , hãy thay ngược lại vào hai phương trình ban đầu để chắc chắn là kết quả đúng.
Hãy kiểm tra tỷ lệ hệ số để xét nhanh các trường hợp đặc biệt trước khi giải cụ thể.
8. Tóm tắt & các điểm chính cần nhớ
Hệ phương trình dạng \{ax + by = c, a'x + b'y = c'\} là phần quan trọng của Đại số lớp 9, thường xuyên xuất hiện trong các bài kiểm tra, thi cử, cũng như là chìa khóa để xử lý các bài toán thực tiễn. Cần nắm vững:
- Nhận dạng và viết hệ theo mẫu chuẩn.
- Phương pháp giải: thế, cộng đại số.
- Phân biệt các trường hợp đặc biệt (có nghiệm duy nhất, vô số nghiệm, vô nghiệm).
- Áp dụng kiểm tra nghiệm và tránh các sai lầm cơ bản.
Việc luyện tập thường xuyên và tư duy logic sẽ giúp các em làm chủ được dạng toán này, chuẩn bị tốt cho các bài học Toán tiếp theo.
Danh mục:
Tác giả
Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.
Theo dõi chúng tôi tại