Hệ phương trình dạng {ax + by = c, a'x + b'y = c'} – Khái niệm, công thức và luyện tập miễn phí

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Hệ phương trình dạng

$$\begin{cases} ax + by = c \\a'x + b'y = c' \\\end{cases}$$

(gọi tắt là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn) là một trong những kiến thức trọng tâm của chương trình Toán lớp 9. Việc hiểu rõ khái niệm này giúp các em phát triển tư duy giải quyết vấn đề, áp dụng vào các bài toán thực tế như: tính toán chi phí mua hàng, giải quyết các bài toán chuyển động, tính tuổi, v.v. Đây cũng là dạng bài thường xuyên xuất hiện trong các đề kiểm tra, thi vào 10 và các kỳ thi học sinh giỏi. Các em có thể luyện tập miễn phí với hơn 42.226+ bài tập về chủ đề này để củng cố và làm chủ kiến thức.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

Định nghĩa: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ gồm hai phương trình dạng tổng quát:

Trong đó:$x, y$là hai ẩn số;$a, b, c, a', b', c'$là các hằng số cho trước; ít nhất một trong hai phương trình phải có hệ số ẩn khác 0.

Một nghiệm của hệ là một cặp số $(x_0; y_0)$thỏa mãn cả hai phương trình.

Các tính chất chính:
- Hệ có thể có một nghiệm duy nhất, vô nghiệm hoặc vô số nghiệm.
- Hệ được gọi là "hệ phương trình bậc nhất hai ẩn" khi cả hai phương trình đều là bậc nhất đối với 2 ẩn.

Điều kiện tồn tại nghiệm duy nhất: Hệ sẽ có nghiệm duy nhất nếu tỉ số:$\frac{a}{a'} \neq \frac{b}{b'}$.
Nếu$\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} \neq \frac{c}{c'}$thì hệ vô nghiệm. Nếu$\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'}$thì hệ có vô số nghiệm.

2.2 Công thức và quy tắc

Một số công thức và phương pháp giải hệ phương trình:

1. Phương pháp thế:
- Bước 1: Biến đổi một phương trình để giải ra một ẩn theo ẩn kia (ví dụ $x$theo$y$).
- Bước 2: Thế vào phương trình còn lại để giải ẩn thứ hai.
- Bước 3: Giải tìm lại ẩn còn lại.

2. Phương pháp cộng đại số:
- Nhân hai phương trình với hệ số thích hợp để triệt tiêu một ẩn khi cộng (hoặc trừ) hai phương trình lại.
- Giải phương trình còn lại ra một ẩn, sau đó thế vào và giải tiếp.

Ghi nhớ nhanh: Tập trung vào thao tác biến đổi phương trình sao cho dễ dàng loại bỏ một ẩn.

Các biến thể: Đôi khi hệ có thể được biến đổi về dạng thuận tiện hơn hoặc xuất hiện các hệ số đặc biệt (hệ song song, đồng nhất).

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Giải hệ:

Bước 1: Giải phương trình dưới ra$x$:$x = 1 + y$.
Bước 2: Thế vào phương trình trên:
$2(1 + y) + y = 7$
$\Rightarrow 2 + 2y + y = 7$
$\Rightarrow 3y = 5 \Rightarrow y = \frac{5}{3}$
Bước 3: Thay lại$x = 1 + \frac{5}{3} = \frac{8}{3}$
Vậy hệ có nghiệm:$\left(\frac{8}{3}; \frac{5}{3}\right)$

Lưu ý: Nên luôn kiểm tra lại kết quả vừa tìm được bằng cách thay vào cả hai phương trình ban đầu.

3.2 Ví dụ nâng cao

Giải hệ:

(phương pháp cộng đại số)

Bước 1: Nhân phương trình 1 với 3, phương trình 2 với 2:

Bước 2: Lấy phương trình 1 trừ phương trình 2:$(9x + 6y) - (4x + 6y) = 24 - 14 \Rightarrow 5x = 10 \Rightarrow x = 2$.
Bước 3: Thay$x = 2$vào một phương trình ban đầu:$3x + 2y = 8 \Rightarrow 6 + 2y = 8 \Rightarrow 2y = 2 \Rightarrow y = 1$.
Vậy nghiệm của hệ là $(2; 1)$.

Kỹ thuật giải nhanh: Nếu nhận ra các hệ số ẩn có thể triệt tiêu nhau khi cộng/trừ hai phương trình thì nên ưu tiên phương pháp cộng đại số.

4. Các trường hợp đặc biệt

- Nếu hệ số các ẩn tỉ lệ thuận, nhưng hệ số tự do không tỉ lệ, hệ vô nghiệm (hai đường thẳng song song).
- Nếu mọi hệ số cùng tỉ lệ, hệ có vô số nghiệm (hai đường trùng nhau).
- Liên hệ: Hệ này chính là hệ hai đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ — kiến thức sẽ liên kết với hình học giải tích về sau.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

- Nhầm lẫn giữa nghiệm của một phương trình và nghiệm của hệ.
- Cho rằng hệ luôn có nghiệm mà không kiểm tra điều kiện.
Mẹo: Luôn kiểm tra điều kiện tồn tại nghiệm trước khi giải.

5.2 Lỗi về tính toán

- Sai sót trong nhân/chia cả hai vế phương trình.
- Lỗi cộng/trừ sai dấu khi triệt tiêu ẩn.
Phương pháp hạn chế: Viết rõ từng bước, kiểm tra lại nghiệm sau mỗi phép giải.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Hãy truy cập kho 42.226+ bài tập Hệ phương trình dạng

miễn phí, không cần đăng ký, luyện tập bất kỳ lúc nào và ngay lập tức. Các em cũng có thể theo dõi tiến độ, kiểm tra kết quả và cải thiện kỹ năng giải toán mỗi ngày!

7. Tóm tắt và ghi nhớ

- Hệ phương trình dạng

là kiến thức trọng tâm lớp 9, xuất hiện rất nhiều trong đề thi.
- Thuộc phương pháp thế và phương pháp cộng đại số.
- Nhớ kiểm tra điều kiện để xác định số nghiệm của hệ trước khi giải.
- Luyện nhiều bài tập giúp nâng cao khả năng tư duy giải quyết vấn đề.

Checklist trước khi làm bài:
- Viết lại hệ đúng chuẩn.
- Xác định điều kiện số nghiệm.
- Chọn phương pháp giải phù hợp.
- Kiểm tra nghiệm cuối cùng.
- Rút ra kinh nghiệm cho lần sau.

Kế hoạch ôn tập hiệu quả: Làm đa dạng các dạng bài, kiểm soát thời gian giải, trao đổi với bạn bè và tham khảo lời giải chi tiết nếu cần.