1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 9, Hệ thức giữa cạnh và góc của tam giác vuông là một trong những kiến thức cơ bản giúp học sinh hiểu sâu về mối liên hệ giữa độ dài cạnh và giá trị góc.

- Khái niệm Hệ thức giữa cạnh và góc của tam giác vuông giúp xác định tỉ số giác của góc dựa trên các cạnh.

- Hiểu rõ hệ thức này giúp giải quyết nhiều bài toán hình học, lượng giác và thực tế.

- Ứng dụng trong kỹ thuật, xây dựng, định vị GPS và nhiều lĩnh vực khác.

- Cơ hội luyện tập miễn phí với 50+ bài tập.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

- Định nghĩa: Trong tam giác vuông, tỉ số giữa cạnh và góc được biểu diễn bởi sin, cos, tan.

Nếu tam giác$ABC$vuông tại$A$, góc$B = \beta$, góc$C = \gamma$, cạnh huyền$BC = a$, cạnh góc vuông$AC = b$,$AB = c$, thì:

$\sin \beta = \frac{b}{a},\quad \cos \beta = \frac{c}{a},\quad \tan \beta = \frac{b}{c}$

- Tính chất: $\sin^2\beta + \cos^2\beta = 1$.

- Điều kiện áp dụng: Tam giác phải vuông.

2.2 Công thức và quy tắc

- Công thức cơ bản cần nhớ:

$\sin \alpha = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh huyền}},\quad \cos \alpha = \frac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh huyền}},\quad \tan \alpha = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh kề}}$

- Ghi nhớ nhanh: dùng quy tắc SOH-CAH-TOA.

- Áp dụng khi biết 2 cạnh hoặc 1 cạnh và 1 góc.

- Biến thể: Cotang, secant, cosecant có thể suy ra từ sin, cos.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Ví dụ: Cho tam giác $ABC$vuông tại$A$với$AB = 3$, $AC = 4$. Tính $\sin B$, $\cos B$và $\tan B$.

Bước 1: Xác định cạnh huyền. $BC = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$

Bước 2: Tính $\sin B = \frac{AC}{BC} = \frac{4}{5} = 0{,}8$.

Tính$\cos B = \frac{AB}{BC} = \frac{3}{5} = 0{,}6$.

Tính$\tan B = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{3} \approx 1{,}33$.

3.2 Ví dụ nâng cao

Ví dụ: Trong tam giác$ABC$vuông tại$A$, biết$\tan B = 2$và $AB = 5$. Tính các cạnh còn lại.

Giải: Gọi$AC = x$. Ta có $\tan B = \frac{AC}{AB} = \frac{x}{5} = 2 \Rightarrow x = 10$.

Cạnh huyền $BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{5^2 + 10^2} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$.

Áp dụng linh hoạt giúp giải nhanh các bài toán có tỉ số cạnh cho trước.

4. Các trường hợp đặc biệt

- Góc nhọn bằng$30^\circ$,$45^\circ$,$60^\circ$có giá trị sin, cos đặc biệt dễ nhớ.

- Góc lõm (>$90^\circ$) không áp dụng trong tam giác vuông.

- Khi hai cạnh góc vuông bằng nhau, góc nhọn bằng$45^\circ$.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

- Nhầm sin với cos khi xác định cạnh đối và cạnh kề.

- Quên điều kiện tam giác vuông.

- Cách tránh: vẽ hình, đánh dấu cạnh.

5.2 Lỗi về tính toán

- Sai sót trong phép tính căn bậc hai.

- Nhầm lẫn phân số khi rút gọn.

- Phương pháp kiểm tra: sử dụng máy tính hoặc so sánh với giá trị xấp xỉ.

6. Luyện tập miễn phí ngay

- Truy cập 50+ bài tập Hệ thức giữa cạnh và góc của tam giác vuông miễn phí.

- Không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập ngay lập tức.

- Theo dõi tiến độ học tập và cải thiện kỹ năng.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

- Nguyên tắc: sin, cos, tan = cạnh đối, cạnh kề, cạnh đối / cạnh huyền.

- Công thức quan trọng: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.

- Checklist: đã vẽ hình, xác định góc, chọn công thức phù hợp, kiểm tra kết quả.

- Kế hoạch ôn tập: thực hành 15 phút mỗi ngày, ôn theo nhóm góc đặc biệt.