Hệ thức giữa cạnh và góc của tam giác vuông – Khái niệm và ứng dụng

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Khái niệm Hệ thức giữa cạnh và góc của tam giác vuông trong chương trình Toán lớp 9 giúp học sinh hiểu được mối liên hệ giữa độ dài các cạnh và giá trị các góc trong tam giác vuông.

- Giúp giải quyết các bài toán hình học, lượng giác cơ bản.

- Phát triển tư duy logic và khả năng phân tích hình học.

Ứng dụng thực tế:

- Đo đạc, xây dựng, xác định chiều cao, khoảng cách gián tiếp.

Cơ hội luyện tập miễn phí với 100+ bài tập.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

Định nghĩa: Tam giác vuông là tam giác có một góc bằng$90^\circ$. Gọi$ABC$vuông tại$C$, đặt$a=BC$,$b=AC$,$c=AB$.

Các hệ thức lượng trong tam giác vuông:

- $\sin A = \frac{a}{c}$, $\cos A = \frac{b}{c}$, $\tan A = \frac{a}{b}$.

- $\sin B = \frac{b}{c}$, $\cos B = \frac{a}{c}$, $\tan B = \frac{b}{a}$.

Điều kiện áp dụng: Góc$A,B$ đều là góc nhọn, tam giác phải vuông.

Giới hạn: Không áp dụng cho góc$0^\circ$hoặc$90^\circ$.

2.2 Công thức và quy tắc

Các công thức cần thuộc lòng:

- $\sin A = \frac{a}{c}$ – Cạnh đối/hypotenuse.

-$\cos A = \frac{b}{c}$– Cạnh kề/hypotenuse.

-$\tan A = \frac{a}{b}$– Cạnh đối/cạnh kề.

Cách ghi nhớ: SOH-CAH-TOA (Sine Opposite over Hypotenuse, Cosine Adjacent over Hypotenuse, Tangent Opposite over Adjacent).

Biến thể công thức:

- $\sin(90^\circ - A) = \cos A$, $\cos(90^\circ - A) = \sin A$.

- $\tan A = \dfrac{\sin A}{\cos A}$.

- Với góc$B$: thay$a\leftrightarrow b$.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Cho tam giác vuông $ABC$vuông tại$C$với$BC=3$, $AC=4$, $AB=5$. Tính $\sin A$, $\cos A$, $\tan A$.

Bước 1: Xác định các cạnh:$a=BC=3$,$b=AC=4$,$c=AB=5$.

Bước 2: Áp dụng công thức:

- $\sin A = \frac{3}{5} = 0.6$.

-$\cos A = \frac{4}{5} = 0.8$.

-$\tan A = \frac{3}{4} = 0.75$.

Lưu ý: Kiểm tra bằng $\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$.

3.2 Ví dụ nâng cao

Cho tam giác vuông $ABC$vuông tại$C$và biết$\sin A = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Tính $\cos A$và $\tan A$.

Áp dụng: $\cos A = \sqrt{1-\sin^2 A} = \sqrt{1-\bigl(\frac{\sqrt{2}}{2}\bigr)^2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Tính $\tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = 1$.

Kỹ thuật giải nhanh: Sử dụng bảng giá trị lượng giác đặc biệt.

4. Các trường hợp đặc biệt

- $\sin0^\circ=0$, $\cos0^\circ=1$, $\sin90^\circ=1$, $\cos90^\circ=0$.

-$\tan90^\circ$không xác định (mẫu 0).

- Tính chất bổ sung: $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

- Nhầm lẫn cạnh đối và cạnh kề dẫn đến áp dụng sai công thức.

- Hiểu sai góc cần tính.

Cách tránh: Vẽ hình, chú thích rõ cạnh và góc.

5.2 Lỗi về tính toán

- Sai số trong tính căn bậc hai hoặc rút gọn phân số.

- Quên kiểm tra điều kiện góc nhọn.

Phương pháp kiểm tra: So sánh với định lý Pythagore và kiểm chứng ngược.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Truy cập 100+ bài tập Hệ thức giữa cạnh và góc của tam giác vuông miễn phí.

- Không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập ngay.

- Theo dõi tiến độ học và cải thiện kỹ năng.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

- Hệ thức chính: $\sin A=\frac{a}{c}$, $\cos A=\frac{b}{c}$, $\tan A=\frac{a}{b}$.

- Ghi nhớ SOH-CAH-TOA và công thức bổ sung.

- Kiểm tra kết quả bằng Pythagore và công thức ngược.