Hệ thức giữa cạnh và góc của tam giác vuông - Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 9

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Hệ thức giữa cạnh và góc của tam giác vuông là khái niệm toán học quan trọng trong chương trình Toán 9, giúp liên kết các cạnh của tam giác vuông với các hàm lượng giác của các góc nhọn.

Tại sao cần hiểu rõ khái niệm này: giúp học sinh giải nhanh các bài toán hình học, tính toán độ dài cạnh hoặc đo góc trong tam giác vuông chính xác.

Ứng dụng thực tế: đo đạc, xây dựng, thiết kế kỹ thuật, hàng không, điều hướng biển, và nhiều lĩnh vực khác sử dụng tỷ số lượng giác.

Cơ hội luyện tập miễn phí với 100+ bài tập.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

- Định nghĩa: Trong tam giác vuông, tỉ số giữa cạnh và góc cho ta các hàm số lượng giác cơ bản là sin, cos, tan.

- Khái niệm cạnh huyền (c), cạnh góc nhọn đối (a) và cạnh kề (b) so với góc nhọn A.

- Tính chất chính: $\sin^2A + \cos^2A = 1$. Với $\triangle ABC$vuông tại C, gọi$AB=c$, $BC=a$, $AC=b$.

- Điều kiện áp dụng: chỉ dùng cho góc nhọn (A hoặc B) trong tam giác vuông.

2.2 Công thức và quy tắc

- Danh sách công thức cần nhớ:
+ $\sin A=\frac{a}{c}$
+ $\cos A=\frac{b}{c}$
+ $\tan A=\frac{a}{b}$
+ $\cot A=\frac{b}{a}$

- Cách ghi nhớ: SOH–CAH–TOA (Sin = Opposite/Hypotenuse, Cos = Adjacent/Hypotenuse, Tan = Opposite/Adjacent).

- Điều kiện sử dụng:$A$là góc nhọn,$c$là cạnh huyền.

- Các biến thể với góc B:
+ $\sin B=\frac{b}{c}$
+ $\cos B=\frac{a}{c}$
+ $\tan B=\frac{b}{a}$

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Cho tam giác vuông $\triangle ABC$vuông tại C, có $BC=3\,cm$, $AC=4\,cm$, $AB=5\,cm$. Tính $\sin A$, $\cos A$, $\tan A$.

Giải:
- Cạnh đối góc A là $BC=3$, cạnh kề góc A là $AC=4$, cạnh huyền $AB=5$.
- $\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5}$.
- $\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{4}{5}$.
- $\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{3}{4}$.

Lưu ý: luôn xác định đúng cạnh đối và cạnh kề trước khi tính.

3.2 Ví dụ nâng cao

Cho$\triangle ABC$vuông tại C, biết$\angle A=30^\circ$,$AB=10\,cm$. Tính độ dài$BC$,$AC$và các giá trị lượng giác.

Giải:
- Cạnh đối góc A: $BC=AB \times \sin A=10 \times \frac{1}{2}=5\,cm$.
- Cạnh kề góc A: $AC=AB \times \cos A=10 \times \frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}\,cm$.
- $\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{5}{5\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Kỹ thuật giải nhanh: nhận diện ngay công thức và giá trị lượng giác góc đặc biệt.

4. Các trường hợp đặc biệt

- Tam giác 30°–60°–90°: $\sin30^\circ=\frac{1}{2}$, $\cos30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\tan30^\circ=\frac{1}{\sqrt{3}}$.

- Tam giác 45°–45°–90°: $\sin45^\circ=\cos45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\tan45^\circ=1$.

Lưu ý: các giá trị này áp dụng cho tam giác vuông góc nhọn đặc biệt.

Mối liên hệ: mở rộng sang định lý Sin và định lý Cos trong tam giác bất kỳ.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

- Nhầm lẫn cạnh đối và cạnh kề.
- Hiểu sai định nghĩa hàm lượng giác.

Cách tránh: vẽ hình, đánh dấu cạnh đối/kề rõ ràng.

5.2 Lỗi về tính toán

- Áp dụng sai công thức (đổi sai cạnh).
- Sai sót trong rút gọn phân số hoặc căn thức.

Kiểm tra kết quả: kiểm chứng $\sin^2A+\cos^2A=1$.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Truy cập 100+ bài tập Hệ thức giữa cạnh và góc của tam giác vuông miễn phí.

Không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập ngay lập tức để nâng cao kỹ năng và theo dõi tiến độ.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

- Nhớ công thức chính: $\sin A=\frac{a}{c}$, $\cos A=\frac{b}{c}$, $\tan A=\frac{a}{b}$.

- Pythagorean identity: $\sin^2A+\cos^2A=1$.

- Kiểm tra: phân biệt đúng cạnh đối/kề, áp dụng góc nhọn.

Checklist trước khi làm bài: xác định góc, gán đúng ký hiệu, chọn công thức phù hợp.

Kế hoạch ôn tập: ôn lý thuyết, làm ví dụ cơ bản, thử nâng cao, đánh giá và cải thiện.