Hình vành khuyên: Khái niệm, công thức và bài tập cho học sinh lớp 9

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 9, Hình vành khuyên là phần kiến thức thuộc Bài 4: Hình quạt tròn và hình vành khuyên, Chương 5: Đường tròn. Hình vành khuyên (annulus) được định nghĩa là phần mặt phẳng giới hạn bởi hai đường tròn đồng tâm có bán kính lớn và nhỏ khác nhau.

- Khái niệm Hình vành khuyên: Phần diện tích nằm giữa hai đường tròn đồng tâm với bán kính ngoài$R$và bán kính trong$r$, với$R>r>0$.

- Tầm quan trọng: Hiểu rõ hình vành khuyên giúp học sinh giải các bài tập về diện tích, chu vi liên quan đến đường tròn và ứng dụng trong các bài toán thực tế.

- Ứng dụng thực tế: Thiết kế các vòng đệm, vòng bánh răng, khung hình, dàn nhạc tròn, các công trình kiến trúc hình vòng.

- Cơ hội luyện tập miễn phí với 100+ bài tập Hình vành khuyên miễn phí.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

- Định nghĩa: Hình vành khuyên là phần mặt phẳng giới hạn giữa hai đường tròn đồng tâm có bán kính$R$(ngoài) và $r$(trong), với$R>r>0$.

- Tính chất chính:

• Cần xác định đúng tâm và bán kính của hai đường tròn.

• Vùng vành khuyên không chứa tâm nếu$r>0$.

- Điều kiện áp dụng: Hai đường tròn phải đồng tâm, bán kính$R$và $r$là các số dương thỏa$R>r$.

2.2 Công thức và quy tắc

Danh sách công thức cần thuộc lòng:

- Diện tích:$S = \,\pi\,(R^2 - r^2)$

- Chu vi tổng của vành khuyên:$L = 2\pi\,R + 2\pi\,r = 2\pi\,(R + r)$

- Biến thể ghi nhớ:$R^2 - r^2 = (R - r)\,(R + r)$nên$S = \pi\,(R - r)\,(R + r)$

Cách ghi nhớ hiệu quả: Tưởng tượng lấy đi phần hình tròn nhỏ từ hình tròn lớn.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Cho hai đường tròn đồng tâm O có bán kính$R=5$cm và $r=3$cm. Tính diện tích hình vành khuyên.

Bước 1: Xác định$R=5$,$r=3$.

Bước 2: Áp dụng công thức$S = \pi\,(R^2 - r^2) = \pi\,(25 - 9) = 16\pi\ \text{cm}^2.$

Lưu ý: Kết quả có đơn vị là cm².

3.2 Ví dụ nâng cao

Một hình vành khuyên có diện tích$28\pi\ \text{cm}^2$và chu vi tổng$20\pi\ \text{cm}$. Tìm bán kính$R$và $r$.

Giải:

- Từ chu vi tổng:$2\pi\,(R + r) = 20\pi \implies R + r = 10.$

- Từ diện tích:$\pi\,(R^2 - r^2) = 28\pi \implies R^2 - r^2 = 28.$

- Sử dụng$R^2 - r^2 = (R - r)\,(R + r)$:$(R - r)\,10 = 28 \implies R - r = 2.8.$

- Giải hệ:

4. Các trường hợp đặc biệt

- Khi$r=0$thì vành khuyên trở thành hình tròn bán kính$R$.

- Khi$R = r$thì diện tích vành khuyên bằng 0.

- Nếu hai đường tròn không đồng tâm thì không xác định như hình vành khuyên.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

- Nhầm lẫn với hình quạt tròn có góc xác định.

- Quên điều kiện đồng tâm hoặc$R>r$.

Cách tránh: Vẽ hình minh họa và ghi chú rõ tâm, bán kính.

5.2 Lỗi về tính toán

- Sai sót khi tính$R^2 - r^2$, nhầm trừ.

- Quên đơn vị hoặc viết sai đơn vị.

Kiểm tra kết quả: So sánh với diện tích hình tròn lớn và nhỏ.

6. Luyện tập miễn phí ngay

- Truy cập 100+ bài tập Hình vành khuyên miễn phí.

- Không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập ngay.

- Theo dõi tiến độ và cải thiện kỹ năng.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

- Định nghĩa: Vùng giữa hai đường tròn đồng tâm.

- Công thức diện tích:$S = \pi\,(R^2 - r^2)$.

- Công thức chu vi:$L = 2\pi\,(R + r)$.

Checklist: Xác định$R$,$r$, kiểm tra điều kiện, đơn vị.

Kế hoạch ôn tập: Làm bài tập SGK, đề thi, tự kiểm tra định kỳ.