Khử mẫu chứa căn thức: Giải thích chi tiết và hướng dẫn dành cho học sinh lớp 9

1. Giới thiệu chung về khử mẫu chứa căn thức

Trong chương trình Toán lớp 9, các bạn thường gặp những biểu thức trong đó mẫu (dưới dấu phân số) lại có chứa căn bậc hai, ví dụ: $\frac{1}{\sqrt{5}}$. Những biểu thức như vậy thường gây khó khăn khi tính toán hoặc so sánh, vì chúng phức tạp hơn các phân số thông thường. Việc "khử mẫu chứa căn thức" giúp biểu thức trở nên dễ hiểu, thuận tiện cho tính toán ở các bước tiếp theo.

2. Định nghĩa khử mẫu chứa căn thức

"Khử mẫu chứa căn thức" (hay còn gọi là “hữu tỷ hóa mẫu thức”) là quá trình biến đổi một biểu thức phân số có mẫu là một căn thức (hoặc chứa căn thức) thành một biểu thức phân số tương đương nhưng mẫu không còn chứa căn thức nữa.

Ví dụ: biến đổi $\frac{1}{\sqrt{2}}$thành$\frac{\sqrt{2}}{2}$.

3. Cách khử mẫu chứa căn thức – Hướng dẫn từng bước với ví dụ

3.1. Trường hợp mẫu là một căn bậc hai đơn

Ví dụ: Khử căn trong mẫu của phân số $\frac{3}{\sqrt{5}}$.

Bước 1: Nhân cả tử và mẫu với $\sqrt{5}$ (mẫu hiện tại):

$\frac{3}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}$

Bây giờ mẫu đã không còn căn thức nữa.

3.2. Trường hợp mẫu là tổng hoặc hiệu hai căn thức

Ví dụ: $\frac{2}{1+\sqrt{3}}$

Bước 1: Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu ("biểu thức liên hợp" của $1+\sqrt{3}$là $1-\sqrt{3}$):

$\frac{2}{1+\sqrt{3}} \times \frac{1-\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}} = \frac{2(1-\sqrt{3})}{(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})}$

Bước 2: Tính $(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3}) = 1 - (\sqrt{3})^2 = 1 - 3 = -2$. Kết quả:

$\frac{2(1-\sqrt{3})}{-2} = \frac{1-\sqrt{3}}{-1} = -1 + \sqrt{3}$

3.3. Trường hợp mẫu là hiệu/tổng hai căn khác nhau

Ví dụ: $\frac{5}{\sqrt{2} + \sqrt{3}}$

Biểu thức liên hợp của $\sqrt{2} + \sqrt{3}$là $\sqrt{2} - \sqrt{3}$. Tiến hành nhân:

$\frac{5}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} = \frac{5(\sqrt{2}-\sqrt{3})}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{3})}$

Tính mẫu số:

$(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{3}) = (\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2 = 2 - 3 = -1$

Kết quả cuối cùng:

$\frac{5(\sqrt{2}-\sqrt{3})}{-1} = -5\sqrt{2}+5\sqrt{3}$

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý

- Nếu mẫu là $a - \sqrt{b}$thì nhân với$a + \sqrt{b}$ (liên hợp)
- Nếu mẫu là nhiều hạng tử (tổng hoặc hiệu) và đều chứa căn, hãy xác định đúng liên hợp.
- Luôn đảm bảo mẫu và tử đều được nhân với cùng một biểu thức để giữ nguyên giá trị.

- Với mẫu có nhiều căn hơn (hoặc căn bậc cao hơn), cần viết lại biểu thức, phân tích mẫu số nếu cần.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Khử mẫu chứa căn thức liên quan chặt chẽ đến các phép biến đổi căn thức, quy tắc nhân liên hợp, rút gọn biểu thức; và thường là bước quan trọng trong giải phương trình, bất phương trình chứa căn thức, và rút gọn các phân thức đại số trong bài toán lớp 9.

\frac{2}{\sqrt{5}+3} : (1) nhân với liên hợp \frac{\sqrt{5}-3}{\sqrt{5}-3} , (2) triển khai tử và mẫu thành \frac{2(\sqrt{5}-3)}{5-9} , (3) rút gọn $" title="Hình minh họa: Minh họa 3 bước hợp lý hóa và rút gọn biểu thức$ \frac{2}{\sqrt{5}+3} $: (1) nhân với liên hợp$ \frac{\sqrt{5}-3}{\sqrt{5}-3} $, (2) triển khai tử và mẫu thành$ \frac{2(\sqrt{5}-3)}{5-9} $, (3) rút gọn$ " class="max-w-full h-auto mx-auto rounded-lg shadow-sm" />

\frac{1}{\sqrt{7} - 2} qua ba bước: biểu thức gốc, nhân với liên hợp (\sqrt{7}+2)/(\sqrt{7}+2) và kết quả rút gọn \frac{\sqrt{7}+2}{3} ." title="Hình minh họa: Minh họa quá trình hợp thức mẫu của biểu thức \frac{1}{\sqrt{7} - 2} qua ba bước: biểu thức gốc, nhân với liên hợp (\sqrt{7}+2)/(\sqrt{7}+2) và kết quả rút gọn \frac{\sqrt{7}+2}{3} ." class="max-w-full h-auto mx-auto rounded-lg shadow-sm" />

\frac{1}{\sqrt{2}} với \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} để thu được \frac{\sqrt{2}}{2} , kèm theo giá trị xấp xỉ 0.7071" title="Hình minh họa: Minh họa phép nhân tử và mẫu của \frac{1}{\sqrt{2}} với \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} để thu được \frac{\sqrt{2}}{2} , kèm theo giá trị xấp xỉ 0.7071" class="max-w-full h-auto mx-auto rounded-lg shadow-sm" />

Quy tắc nhân liên hợp cũng giúp học sinh hình dung dễ hơn về hằng đẳng thức$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1: Khử mẫu của $\frac{4}{2\sqrt{3}}$

Giải:

Nhân cả tử và mẫu với $\sqrt{3}$:

$\frac{4}{2\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{2 \times 3} = \frac{4\sqrt{3}}{6} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

Bài 2: Khử mẫu $\frac{1}{\sqrt{7} - 2}$

Nhân tử và mẫu với $\sqrt{7} + 2$:

$\frac{1}{\sqrt{7} - 2} \times \frac{\sqrt{7}+2}{\sqrt{7}+2} = \frac{\sqrt{7}+2}{(\sqrt{7})^2 - 2^2} = \frac{\sqrt{7}+2}{7-4} = \frac{\sqrt{7}+2}{3}$

Bài 3: Khử mẫu $\frac{2}{\sqrt{5}+3}$

Nhân tử và mẫu với $\sqrt{5}-3$:

$\frac{2}{\sqrt{5}+3} \times \frac{\sqrt{5}-3}{\sqrt{5}-3} = \frac{2(\sqrt{5}-3)}{(\sqrt{5})^2-9} = \frac{2(\sqrt{5}-3)}{5-9} = \frac{2(\sqrt{5}-3)}{-4} = -\frac{\sqrt{5}-3}{2}$

7. Lỗi thường gặp và cách tránh

- Quên nhân cả tử và mẫu với cùng một biểu thức. Điều này làm thay đổi giá trị của phân số.

- Nhân sai liên hợp (ví dụ nhầm$a+b$liên hợp là $a+b$thay vì $a-b$).

- Không rút gọn mẫu hoặc tử sau khi nhân xong.

- Đổi dấu tử và mẫu không hợp lý. Hãy chú ý dấu âm ở mẫu số sau khi nhân liên hợp.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Khử mẫu chứa căn thức là quá trình nhân tử và mẫu với căn liên hợp hoặc chính căn thức đang ở mẫu để loại bỏ căn thức khỏi mẫu.
- Luôn đảm bảo nhân tử và mẫu với cùng một biểu thức.
- Nếu mẫu là $a + b\sqrt{c}$, liên hợp là $a - b\sqrt{c}$. Áp dụng hằng đẳng thức cho mẫu.
- Luôn rút gọn biểu thức sau khi thực hiện các phép tính.
- Kỹ năng này rất quan trọng cho giải toán lớp 9 và các lớp cao hơn.