Nhân hai vế với hệ số thích hợp – Khái niệm, ví dụ và hướng dẫn cho học sinh lớp 9

1. Giới thiệu về khái niệm "Nhân hai vế với hệ số thích hợp"

Trong chương trình Toán lớp 9, khi giải các hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số, "nhân hai vế với hệ số thích hợp" là một kỹ năng vô cùng quan trọng. Kỹ thuật này giúp chúng ta biến đổi các phương trình sao cho có thể dễ dàng cộng hoặc trừ để loại bỏ một ẩn, từ đó tìm ra nghiệm của hệ phương trình một cách nhanh chóng và chính xác. Đây cũng là một trong những nền tảng kiến thức giúp học sinh phát triển tư duy logic và kỹ năng toán học khi bước vào các bài toán đại số phức tạp hơn ở các lớp cao hơn.

2. Định nghĩa: "Nhân hai vế với hệ số thích hợp" là gì?

Khi giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, "nhân hai vế với hệ số thích hợp" là phép biến đổi trong đó ta nhân cả hai vế của một phương trình với cùng một số (khác 0) nhằm tạo ra hệ số của ẩn này ở hai phương trình là giống nhau (hoặc đối nhau). Mục đích là để sau đó có thể cộng hoặc trừ hai phương trình, giúp loại bỏ một ẩn và giải quyết hệ phương trình dễ dàng hơn.

3. Các bước thực hiện và ví dụ minh họa

Giả sử ta có hệ phương trình:

\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}

Để sử dụng phương pháp cộng đại số, ta có thể thực hiện các bước sau:

Ví dụ minh họa:

Giải hệ phương trình sau:

\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 3x - 2y = 4 \end{cases}

Ta muốn khử $x$, nên cần tạo hệ số $x$ ở hai phương trình là bằng nhau hoặc đối nhau. Ta nhân phương trình (1) với 3, phương trình (2) với 2:

\begin{cases} 6x + 9y = 21 \quad (1') \\ 6x - 4y = 8 \quad (2') \end{cases}

Lấy (1') trừ (2'):$[6x + 9y] - [6x - 4y] = 21 - 8$

$6x + 9y - 6x + 4y = 13$

$13y = 13 \Rightarrow y = 1$

Thay$y = 1$vào (1):$2x + 3 \times 1 = 7 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2$

Vậy nghiệm của hệ là $(x, y) = (2, 1)$.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Chỉ được nhân với số khác 0. Nếu nhân với 0 thì phương trình sẽ biến thành đồng nhất (0 = 0), mất thông tin và không giải được.
- Nên chọn hệ số nhỏ nhất có thể để các phép tính đơn giản.
- Nếu muốn loại bỏ ẩn$y$, cần tìm bội chung của$b_1$và $b_2$và nhân lần lượt vào hai phương trình.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Kỹ thuật "nhân hai vế với hệ số thích hợp" không chỉ dùng trong giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn mà còn là kiến thức nền để giải các dạng phương trình phức tạp hơn trong đại số, các bài toán về tỉ lệ, bài toán chuỗi số hoặc khi học cao hơn như đại số tuyến tính (phép biến đổi sơ cấp), giải bất phương trình, v.v.

6. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài 1:

Giải hệ phương trình: \begin{cases} x + 2y = 5 \\ 2x - 3y = 4 \end{cases}

Hướng dẫn: Nhân phương trình (1) với 2 để hệ số $x$ ở hai phương trình cùng là 2.

Ta được: \begin{cases} 2x + 4y = 10 \\ 2x - 3y = 4 \\\end{cases}
Trừ hai phương trình:$[2x + 4y] - [2x - 3y] = 10 - 4$
$2x + 4y - 2x + 3y = 6$
$7y = 6 \Rightarrow y = \frac{6}{7}$
Thay vào (1):$x + 2 \times \frac{6}{7} = 5 \Rightarrow x = 5 - \frac{12}{7} = \frac{35 - 12}{7} = \frac{23}{7}$.
Vậy nghiệm của hệ là $\left(x, y\right) = \left(\frac{23}{7}, \frac{6}{7}\right)$

Bài 2:

Giải hệ: \begin{cases} 3x - 4y = 7 \\ 5x + 6y = 8\\\end{cases}
Hướng dẫn: Để khử $y$, nhân phương trình (1) với 3, (2) với 2:
\begin{cases} 9x - 12y = 21 \\ 10x + 12y = 16\\\end{cases}
Cộng hai phương trình:
$[9x - 12y] + [10x + 12y] = 21 + 16$
$19x = 37 \Rightarrow x = \frac{37}{19}$
Thay vào (1):$3x - 4y = 7 \Rightarrow 3 \times \frac{37}{19} - 4y = 7$
$\frac{111}{19} - 4y = 7 \Rightarrow -4y = 7 - \frac{111}{19}$
$-4y = \frac{133 - 111}{19} = \frac{22}{19} \Rightarrow y = -\frac{11}{19}$
Vậy nghiệm của hệ là $\left(x, y\right) = \left(\frac{37}{19}, -\frac{11}{19}\right)$

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Quên nhân cả hai vế (chỉ nhân một vế hoặc quên thành phần nào đó).
- Nhân nhầm số (chọn chưa đúng hệ số nên khi cộng/trừ không triệt tiêu được ẩn).
- Nhân với 0 hoặc số âm mà không chú ý dấu.
- Không rút gọn tối đa hoặc ghi sai phép tính sau khi nhân.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- "Nhân hai vế với hệ số thích hợp" là thao tác nhân cả hai vế của một phương trình với cùng một số khác 0 để tạo điều kiện thuận lợi loại bỏ một ẩn khi cộng/trừ hai phương trình.
- Chỉ được nhân với số khác 0.
- Kỹ thuật này là nền tảng cho các phương pháp giải bài toán về hệ phương trình cũng như các dạng toán đại số phức tạp hơn sau này.
- Cần kiểm tra kết quả sau mỗi phép biến đổi để tránh sai sót.
- Thành thạo việc sử dụng sẽ giúp rút ngắn thời gian làm bài và tăng độ chính xác.