Blog

Nhân Hai Vế Với Hệ Số Thích Hợp: Khái Niệm, Ý Nghĩa Và Ứng Dụng Trong Giải Hệ Phương Trình

T
Tác giả
7 phút đọc
Chia sẻ:
10 phút đọc

1. Giới thiệu về Nhân hai vế với hệ số thích hợp

Trong chương trình Toán lớp 9, giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là một chủ đề quan trọng. Một trong những phương pháp thường được sử dụng để xử lý các hệ phương trình này là nhân hai vế với hệ số thích hợp. Đây là kỹ thuật cơ bản nhưng cực kỳ hiệu quả, giúp biến đổi hệ phương trình về dạng thuận tiện cho việc cộng hoặc trừ hai phương trình để làm mất một ẩn. Vậy khái niệm này là gì, vận dụng ra sao và cần lưu ý điều gì khi sử dụng? Bài viết này sẽ giải thích chi tiết và minh họa đầy đủ giúp bạn nắm vững kiến thức này.

2. Định nghĩa 'Nhân hai vế với hệ số thích hợp'

Nhân hai vế với hệ số thích hợp là thao tác lấy một phương trình trong hệ phương trình, rồi nhân cả hai vế của phương trình đó với một số khác 0 (gọi là hệ số thích hợp). Mục đích chính là để biến đổi một hoặc nhiều hệ số của biến số trong hệ phương trình nhằm thuận tiện cho các bước giải tiếp theo, thường là để cộng hoặc trừ các phương trình với nhau và triệt tiêu một ẩn.

Ký hiệu tổng quát:

Hệ phương trình:
\begin{cases}
a_1x + b_1y = c_1 \\
a_2x + b_2y = c_2
\\\end{cases}
Nếu nhân phương trình (1) vớikk(vớik0k \neq 0), ta được:

k(a1x+b1y)=kc1ka1x+kb1y=kc1k(a_1x + b_1y) = k c_1 \Leftrightarrow ka_1x + kb_1y = kc_1

Ta có thể chọn hệ số kksao choka1=a2ka_1 = a_2(hoặckb1=b2kb_1 = b_2, hoặc các giá trị khác tùy mục đích bài toán) để chuẩn bị cho bước cộng đại số hoặc trừ hai phương trình.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Hãy cùng xem xét ví dụ minh họa cụ thể:

Ví dụ: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:

\begin{cases}
2x + 3y = 7 \quad (1)\\
3x - 2y = 4 \quad (2)
\end{cases}

Bước 1: Chọn ẩn cần triệt tiêu. Giả sử chọn triệt tiêuxx.

Bước 2: Tìm hệ số thích hợp để nhân hai vế phương trình, để cho hệ số củaxx ở hai phương trình có giá trị tuyệt đối bằng nhau nhưng trái dấu.

Ở đây, hệ số xxtrong (1) là 2, trong (2) là 3. Hãy nhân phương trình (1) với 3, phương trình (2) với 2:

Phương trình (1)×3\times 3:6x+9y=216x + 9y = 21
Phương trình (2)×2\times 2:6x4y=86x - 4y = 8

Bước 3: Trừ phương trình (2) cho (1) (hoặc ngược lại) để làm mấtxx:

\begin{cases}
6x + 9y = 21 \quad (3)\\
6x - 4y = 8 \quad (4)
\\\end{cases}

Lấy (3) trừ (4):

(6x+9y)(6x4y)=218(6x + 9y) - (6x - 4y) = 21 - 8

6x+9y6x+4y=136x + 9y - 6x + 4y = 13

13y=13y=113y = 13 \Rightarrow y = 1

Bước 4: Thayy=1y = 1vào (1):

2x+31=72x + 3*1 = 7
2x=4x=22x = 4 \Rightarrow x = 2

Vậy nghiệm hệ phương trình là x=2x = 2,y=1y = 1.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

Một số điểm quan trọng khi áp dụng phương pháp này:

  • Chỉ được nhân với hệ số khác 0, nếu không phương trình sẽ bị mất ý nghĩa toán học.
  • Nên chọn hệ số để hệ số của ẩn bị triệt tiêu ở hai phương trình có giá trị tuyệt đối bằng nhau và trái dấu để cộng hoặc trừ thuận tiện.
  • Nếu đề bài cho hệ số đã thuận tiện, có thể không cần nhân hai vế mà chỉ cần cộng hoặc trừ.

Trường hợp đặc biệt:

  • Nếu hệ số của ẩn ở hai phương trình cùng dấu, ta nên lấy một phương trình nhân với số âm để đảo dấu.
  • Nếu hệ phương trình có ẩn đã được cân bằng, có thể cộng hai phương trình mà không cần nhân thêm.
Hình minh họa: Minh họa thao tác nhân hai vế của phương trình (2): –x + 4y = 6 với hệ số 2 để thu được phương trình mới –2x + 8y = 12
Minh họa thao tác nhân hai vế của phương trình (2): –x + 4y = 6 với hệ số 2 để thu được phương trình mới –2x + 8y = 12

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

"Nhân hai vế với hệ số thích hợp" là một ứng dụng của quy tắc nhân trong đại số, đồng thời là kỹ thuật nền tảng cho phương pháp cộng đại số (phương pháp tuyến tính) trong giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Bên cạnh đó, thao tác này cũng liên quan đến các phép biến đổi tương đương phương trình, giữ nguyên nghiệm của hệ và được sử dụng rộng rãi trong đại số tuyến tính và các phương trình bậc cao hơn.

Ngoài toán học lớp 9, kỹ thuật này còn xuất hiện trong giải các bài toán phương trình, bất phương trình, và cả trong các chủ đề cao hơn như ma trận, vectơ.

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Giải hệ phương trình:

\begin{cases}
4x - y = 5 \\
2x + 3y = 13
\end{cases}

Lời giải:

Chọn triệt tiêuyy.
Nhân phương trình (1) với 3:
3(4xy)=3512x3y=153(4x-y) = 3*5 \Rightarrow 12x - 3y = 15

Hệ mới:

{<br/>12x3y=15<br/>2x+3y=13<br/>\begin{cases}<br />12x - 3y = 15 \\ <br />2x + 3y = 13<br />\\\end{cases}

Cộng hai phương trình:
14x=28x=214x = 28 \Rightarrow x = 2

Thay vào (1):
42y=5y=34*2 - y = 5 \Rightarrow y = 3
Vậy nghiệm:x=2,y=3x = 2, y = 3

Bài tập 2: Giải hệ phương trình:

\begin{cases}
5x - 2y = 1 \\
3x + 4y = 19
\end{cases}

Chọn triệt tiêuyy.
Nhân (1) với 2:
2(5x2y)=2110x4y=22(5x-2y)=2*1 \Rightarrow 10x - 4y = 2

Hệ mới:

{<br/>10x4y=2<br/>3x+4y=19<br/>\begin{cases}<br />10x - 4y = 2 \\ <br />3x + 4y = 19<br />\\\end{cases}

Cộng hai phương trình:
13x=21x=211313x = 21 \Rightarrow x = \frac{21}{13}

Thayxxvào (1):
521132y=15*\frac{21}{13} - 2y = 1
105132y=1\Rightarrow \frac{105}{13} - 2y = 1
2y=110513=1310513=9213\Rightarrow -2y = 1 - \frac{105}{13} = \frac{13-105}{13} = -\frac{92}{13}
y=4613\Rightarrow y = \frac{46}{13}
Vậy nghiệm:x=2113x = \frac{21}{13},y=4613y = \frac{46}{13}

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

  • Quên nhân cả hai vế phương trình, dẫn đến phương trình biến đổi bị sai.
  • Nhân nhầm hệ số, không đảm bảo hệ số cân bằng hoặc trái dấu nhằm triệt tiêu không thành công.
  • Nhân với số 0, làm phương trình trở nên vô nghĩa.
  • Lực chọn triệt tiêu ẩn không hợp lý, khiến quá trình giải phức tạp hoặc khó giải.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

  • “Nhân hai vế với hệ số thích hợp” là thao tác nhân cả hai vế một phương trình với số khác 0 nhằm biến đổi hệ số của biến số.
  • Được sử dụng nhiều trong giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số để làm mất một ẩn.
  • Cần chú ý thực hiện chính xác nhân cả hai vế và chọn hệ số hợp lý để đơn giản hóa bài toán.
T

Tác giả

Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".