Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp: Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 9

1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 9, việc học và vận dụng các biểu thức liên hợp để nhân tử và mẫu là một kỹ năng quan trọng giúp đơn giản hoá các biểu thức chứa căn thức bậc hai hoặc làm cho mẫu thức không còn chứa căn. Đây là kiến thức nền tảng, hỗ trợ rất nhiều cho các dạng bài tập biến đổi và rút gọn biểu thức, đồng thời có liên hệ mật thiết tới phần đại số ở các lớp trên.

2. Định nghĩa chính xác về biểu thức liên hợp

Biểu thức liên hợp của biểu thức dạng $a + b\sqrt{c}$là $a - b\sqrt{c}$, và ngược lại. Khi nhân một biểu thức với biểu thức liên hợp của nó, ta thu được hiệu hai bình phương, từ đó đơn giản hóa căn thức.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Hữu tỷ hóa mẫu chứa căn thức

Giả sử ta có biểu thức $A = \frac{1}{\sqrt{3} + 1}$

Bước 1: Xác định biểu thức liên hợp của mẫu: $\sqrt{3} + 1 \to \sqrt{3} - 1$

Bước 2: Nhân cả tử và mẫu với liên hợp này:
$A = \frac{1}{\sqrt{3} + 1} \times \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{\sqrt{3} - 1}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)}$

Bước 3: Tính mẫu số bằng công thức hiệu hai bình phương:
$(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1) = (\sqrt{3})^2 - (1)^2 = 3 - 1 = 2$

Vậy, $A = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$

Ví dụ 2: Biến đổi biểu thức phức tạp hơn

Cho biểu thức $B = \frac{5}{2 - \sqrt{5}}$

Ta nhân cả tử và mẫu với $2 + \sqrt{5}$(liên hợp của$2 - \sqrt{5}$):
$B = \frac{5}{2 - \sqrt{5}} \times \frac{2 + \sqrt{5}}{2 + \sqrt{5}} = \frac{5(2 + \sqrt{5})}{(2 - \sqrt{5})(2 + \sqrt{5})}$

$= \frac{5(2 + \sqrt{5})}{4 - 5} = \frac{5(2 + \sqrt{5})}{-1} = -5(2 + \sqrt{5})$

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Chỉ dùng liên hợp để hữu tỷ hóa mẫu khi mẫu chứa căn bậc hai hoặc căn thức phức hợp dạng $a + b\sqrt{c}$.
- Khi biểu thức có nhiều căn, cần xác định đúng biểu thức liên hợp.
- Không nên sử dụng liên hợp với tổng hai căn chung số hạng, ví dụ $\sqrt{a} + \sqrt{b}$thì liên hợp là $\sqrt{a} - \sqrt{b}$.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Nhân với biểu thức liên hợp không chỉ xuất hiện trong đại số mà còn giúp ích trong giải phương trình chứa căn, rút gọn, so sánh biểu thức, biến đổi hệ thức chứa căn, và hữu tỷ hóa mẫu số trong phân số (phân thức hữu tỷ). Đây còn là kiến thức nền cho các dạng bài nâng cao ở chương trình THPT.

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Rút gọn $C = \frac{3}{1 - \sqrt{2}}$

Giải:
Nhân tử và mẫu với $1 + \sqrt{2}$:
$C = \frac{3}{1 - \sqrt{2}} \times \frac{1 + \sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}} = \frac{3(1 + \sqrt{2})}{(1 - \sqrt{2})(1 + \sqrt{2})} = \frac{3(1 + \sqrt{2})}{1 - 2} = -3(1 + \sqrt{2})$

Bài tập 2: Cho biểu thức $D = \frac{2}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$. Hãy rút gọn
Nhân tử và mẫu với liên hợp của mẫu là \sqrt{5} + \sqrt{3}:
$D = \frac{2}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})}$
= \frac{2(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{5 - 3} = \frac{2(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{2} = \sqrt{5} + \sqrt{3}$

Bài tập 3: Biến đổi biểu thức $E = \frac{1}{2 + \sqrt{7}} + \frac{1}{2 - \sqrt{7}}$

Giải:
Nhân tử và mẫu của từng phân số với liên hợp của mẫu tương ứng:
- Với $\frac{1}{2+\sqrt{7}}$, nhân với $2-\sqrt{7}$
- Với $\frac{1}{2-\sqrt{7}}$, nhân với $2+\sqrt{7}$

Ta có:
$\frac{1}{2+\sqrt{7}} = \frac{2-\sqrt{7}}{(2+\sqrt{7})(2-\sqrt{7})} = \frac{2-\sqrt{7}}{4-7} = \frac{2-\sqrt{7}}{-3}$

$\frac{1}{2-\sqrt{7}} = \frac{2+\sqrt{7}}{4-7} = \frac{2+\sqrt{7}}{-3}$

Cộng lại:
$E = \frac{2-\sqrt{7} + 2+\sqrt{7}}{-3} = \frac{4}{-3} = -\frac{4}{3}$

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Quên nhân cả tử lẫn mẫu với liên hợp.
- Nhân sai liên hợp (chỉ thay đổi dấu căn thay vì đúng dấu toàn bộ biểu thức).
- Không sử dụng liên hợp trong trường hợp mẫu không có căn hoặc không phù hợp.
- Tính toán nhầm lẫn hiệu hai bình phương (ví dụ,$(a+b)(a-b) \ne a^2-b^2$nếu tính sai dấu).

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp là phương pháp hữu hiệu để loại bỏ căn bậc hai khỏi mẫu số, đơn giản hóa các phân thức chứa căn. Biểu thức liên hợp của $a + b\sqrt{c}$là $a - b\sqrt{c}$ và ngược lại. Biết cách sử dụng liên hợp giúp làm chủ các phép biến đổi đại số quan trọng, đồng thời giúp xử lý hiệu quả các dạng toán rút gọn, tính giá trị biểu thức, giải phương trình và hình thành tư duy toán học logic.