Nhân và chia biểu thức chứa căn thức bậc hai: Hướng dẫn chi tiết cho học sinh lớp 9

1. Giới thiệu về nhân và chia biểu thức chứa căn thức bậc hai

Trong chương trình Toán lớp 9, các biểu thức chứa căn bậc hai xuất hiện rất nhiều, đặc biệt khi làm các phép biến đổi và giải phương trình, bất phương trình. Việc thực hiện phép nhân và chia với các biểu thức này là nền tảng quan trọng để giải toán căn thức cũng như áp dụng cho cả Đại số và Hình học sau này. Nắm vững kỹ năng nhân, chia biểu thức chứa căn thức bậc hai giúp học sinh tự tin chinh phục các bài toán nâng cao và thi cử quan trọng.

2. Định nghĩa: Nhân và chia biểu thức chứa căn thức bậc hai là gì?

• Biểu thức chứa căn thức bậc hai là biểu thức có chứa căn bậc hai của một số hoặc một biểu thức đại số, ví dụ: $\sqrt{x}$, $\sqrt{a^2+2a}$.
• Nhân biểu thức chứa căn thức bậc hai là việc lấy tích của hai hoặc nhiều biểu thức mà trong đó có ít nhất một biểu thức chứa căn bậc hai. Tương tự, chia là chia một biểu thức cho một biểu thức khác mà có chứa căn bậc hai.

3. Cách nhân và chia biểu thức chứa căn thức bậc hai: Các bước cơ bản và ví dụ minh họa

A. Phép nhân:

- Công thức căn bản: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$(với$a \geq 0, b \geq 0$).
- Khi nhân biểu thức có căn: đưa về phép nhân từng phần (phân phối hoặc dùng hằng đẳng thức).

Ví dụ 1: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{2 \cdot 8} = \sqrt{16} = 4$.

Ví dụ 2: $(3 + \sqrt{5}) \cdot (2 - \sqrt{5})$

Áp dụng phân phối:

$= 3 \cdot 2 + 3 \cdot (-\sqrt{5}) + \sqrt{5} \cdot 2 + \sqrt{5} \cdot (-\sqrt{5})$

$= 6 - 3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} - (\sqrt{5})^2$

$= 6 - \sqrt{5} - 5$

$= 1 - \sqrt{5}$

B. Phép chia:

- Công thức căn bản: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$(với$a \geq 0, b > 0$).
- Nếu gặp mẫu là căn thức, thường dùng phương pháp "rationalize" (khử căn thức ở mẫu) bằng cách nhân tử liên hợp.

Ví dụ 3: $\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{18}{2}} = \sqrt{9} = 3$

Ví dụ 4 (Khử căn mẫu - dùng liên hợp): $\frac{1}{2+\sqrt{3}}$

Nhân cả tử và mẫu với $2-\sqrt{3}$ (liên hợp của mẫu):

$\frac{1}{2+\sqrt{3}} = \frac{1 \cdot (2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}$

Tính mẫu số:

$(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$

Vậy $\frac{1}{2+\sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3}$

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi nhân, chia biểu thức chứa căn thức bậc hai

- Chỉ có thể áp dụng công thức $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$khi$a \geq 0, b \geq 0$.
- Với mẫu số có dạng $a + \sqrt{b}$hoặc$a - \sqrt{b}$, nên dùng liên hợp để khử căn ở mẫu.
- Với biểu thức nhiều căn, phải chú ý đến điều kiện xác định: các biểu thức dưới dấu căn phải lớn hơn hoặc bằng $0$(hoặc lớn hơn$0$nếu ở mẫu).
- Khi rút gọn, nên tách số dưới căn thành tích các thừa số để dễ dàng đưa về căn bậc hai một cách chính xác, ví dụ:$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Việc thành thạo nhân, chia biểu thức chứa căn bậc hai sẽ hỗ trợ học sinh trong giải phương trình, bất phương trình căn, biến đổi biểu thức, giải toán hình học liên quan đến đường tròn, tam giác vuông (vì thường gặp các độ dài là căn bậc hai).
- Đây cũng là nội dung quan trọng nền tảng cho kiến thức lớp 10 về hàm số, phương trình bậc hai.

(3 + \sqrt{5}) \times (2 - \sqrt{5}) thành các phép nhân $3\times2$ , 3\times(-\sqrt{5}) , \sqrt{5}\times2 , \sqrt{5}\times(-\sqrt{5}) , sau đó tổng hợp thành $6 - 3\" class="max-w-full h-auto mx-auto rounded-lg shadow-sm" />

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1: Tính $A = (2 + \sqrt{3}) \cdot (2 - \sqrt{3})$

Giải:

$(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$

Bài 2: Rút gọn $B = \frac{3\sqrt{5} - 2\sqrt{20}}{\sqrt{5}}$

Giải:

$\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ nên:

$B = \frac{3\sqrt{5} - 2 \cdot 2\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5} - 4\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{-\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = -1$

Bài 3: Thực hiện phép tính $C = \frac{2 + \sqrt{6}}{\sqrt{3}}$

Giải:

$C = \frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} + \sqrt{\frac{6}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} + \sqrt{2}$

Khử căn ở mẫu:
$\frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

Vậy $C = \frac{2\sqrt{3}}{3} + \sqrt{2}$

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Lỗi ghép căn sai điều kiện: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$CHỈ đúng khi$a \geq 0, b \geq 0$.
- Lỗi chia căn mà không kiểm tra điều kiện xác định: Mẫu số KHÔNG ĐƯỢC là $0$.
- Lỗi không khử căn mẫu khi kết quả yêu cầu ở dạng tối giản.
- Lỗi quên rút gọn số dưới dấu căn: Ví dụ viết $\sqrt{18}$thay vì $3\sqrt{2}$.
- Lỗi nhân liên hợp không đúng, ví dụ, chỉ nhân một lần mà không nhân cả tử và mẫu.

8. Tóm tắt: Những điểm cần nhớ về nhân và chia biểu thức chứa căn thức bậc hai

• Nhân hai căn bậc hai: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$(với$a \geq 0, b \geq 0$).
• Chia hai căn bậc hai: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$(với$b > 0$).
• Nếu mẫu có dạng $a + \sqrt{b}$, dùng liên hợp để khử căn thức ở mẫu.
• Luôn chú ý điều kiện xác định của căn bậc hai và mẫu số.
• Đưa kết quả về dạng rút gọn nhất, chia hết và rút gọn căn thức nếu có thể.